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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-6x+5)/(x^2-3x+2)

Gráfico de la función y = (x^2-6x+5)/(x^2-3x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 6*x + 5
f(x) = ------------
        2          
       x  - 3*x + 2
f(x)=(x2−6x)+5(x2−3x)+2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} 
f = (x^2 - 6*x + 5)/(x^2 - 3*x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−6x)+5(x2−3x)+2=0\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 6*x + 5)/(x^2 - 3*x + 2).
(02−0)+5(02−0)+2\frac{\left(0^{2} - 0\right) + 5}{\left(0^{2} - 0\right) + 2}
Resultado:
f(0)=52f{\left(0 \right)} = \frac{5}{2}
Punto:
(0, 5/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3−2x)((x2−6x)+5)((x2−3x)+2)2+2x−6(x2−3x)+2=0\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(\left(x^{2} - 6 x\right) + 5\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 6}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x−3)(2x−3)x2−3x+2+((2x−3)2x2−3x+2−1)(x2−6x+5)x2−3x+2+1)x2−3x+2=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 3\right) \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + \frac{\left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right) \left(x^{2} - 6 x + 5\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−6x)+5(x2−3x)+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x2−6x)+5(x2−3x)+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 6*x + 5)/(x^2 - 3*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−6x)+5x((x2−3x)+2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2−6x)+5x((x2−3x)+2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{x \left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−6x)+5(x2−3x)+2=x2+6x+5x2+3x+2\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}
- No
(x2−6x)+5(x2−3x)+2=−x2+6x+5x2+3x+2\frac{\left(x^{2} - 6 x\right) + 5}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + 3 x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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