Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{8 x - 12}{x + 3} - \frac{\left(4 x^{2} - 12 x\right) + 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - 3$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
| / ____\ |
____ | ____ | \/ 73 | |
____ 2*\/ 73 *|37 - 6*\/ 73 + 4*|-3 + ------| |
\/ 73 \ \ 2 / /
(-3 + ------, -------------------------------------------)
2 73
/ 2 \
| / ____\ |
____ | | \/ 73 | ____|
____ -2*\/ 73 *|37 + 4*|-3 - ------| + 6*\/ 73 |
\/ 73 \ \ 2 / /
(-3 - ------, --------------------------------------------)
2 73
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3 + \frac{\sqrt{73}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{73}}{2} - 3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{73}}{2} - 3\right] \cup \left[-3 + \frac{\sqrt{73}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{73}}{2} - 3, -3 + \frac{\sqrt{73}}{2}\right]$$