Sr Examen

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x×e^x
Trazado el gráfico de la función/ x×e^x

Gráfico de la función y = x×e^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x
f(x) = x*E
f(x)=exxf{\left(x \right)} = e^{x} x 
f = E^x*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-250000250000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exx=0e^{x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−77.1981473783759x_{1} = -77.1981473783759
x2=−69.2447823410302x_{2} = -69.2447823410302
x3=−39.6870583075465x_{3} = -39.6870583075465
x4=−53.3950840173982x_{4} = -53.3950840173982
x5=−109.089608132217x_{5} = -109.089608132217
x6=−87.1541152286569x_{6} = -87.1541152286569
x7=0x_{7} = 0
x8=−97.1205993527235x_{8} = -97.1205993527235
x9=−81.1789726997072x_{9} = -81.1789726997072
x10=−85.1619388762717x_{10} = -85.1619388762717
x11=−119.06914228288x_{11} = -119.06914228288
x12=−113.080930865701x_{12} = -113.080930865701
x13=−75.2086687051389x_{13} = -75.2086687051389
x14=−61.3071694941258x_{14} = -61.3071694941258
x15=−65.2735421114241x_{15} = -65.2735421114241
x16=−43.5740005056864x_{16} = -43.5740005056864
x17=−71.2319064024203x_{17} = -71.2319064024203
x18=−121.065503606275x_{18} = -121.065503606275
x19=−89.146704685936x_{19} = -89.146704685936
x20=−67.2586229734047x_{20} = -67.2586229734047
x21=−107.094223645316x_{21} = -107.094223645316
x22=−105.099039845199x_{22} = -105.099039845199
x23=−117.072920781941x_{23} = -117.072920781941
x24=−37.7592416454249x_{24} = -37.7592416454249
x25=−41.6261544568938x_{25} = -41.6261544568938
x26=−93.1329980618501x_{26} = -93.1329980618501
x27=−115.076847342498x_{27} = -115.076847342498
x28=−83.1702113647074x_{28} = -83.1702113647074
x29=−73.2198969347223x_{29} = -73.2198969347223
x30=−79.1882678183563x_{30} = -79.1882678183563
x31=−63.2896724119287x_{31} = -63.2896724119287
x32=−32.0913241206348x_{32} = -32.0913241206348
x33=−55.369883839131x_{33} = -55.369883839131
x34=−35.8463765939876x_{34} = -35.8463765939876
x35=−103.10407015753x_{35} = -103.10407015753
x36=−45.5287883412543x_{36} = -45.5287883412543
x37=−99.1148331129772x_{37} = -99.1148331129772
x38=−95.1266472537626x_{38} = -95.1266472537626
x39=−49.4541901054407x_{39} = -49.4541901054407
x40=−91.1396752246407x_{40} = -91.1396752246407
x41=−47.4891864944529x_{41} = -47.4891864944529
x42=−59.3262172000187x_{42} = -59.3262172000187
x43=−33.9540517145623x_{43} = -33.9540517145623
x44=−57.3470343910748x_{44} = -57.3470343910748
x45=−51.4230249783974x_{45} = -51.4230249783974
x46=−101.109329237227x_{46} = -101.109329237227
x47=−111.085180982879x_{47} = -111.085180982879
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^x.
0e00 e^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
ex+xex=0e^{x} + x e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
Signos de extremos en los puntos:
       -1 
(-1, -e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x+2)ex=0\left(x + 2\right) e^{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2,∞)\left[-2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2]\left(-\infty, -2\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞ex=0\lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞ex=∞\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exx=−xe−xe^{x} x = - x e^{- x}
- No
exx=xe−xe^{x} x = x e^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x×e^x
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