Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{10 \left(2 x - \left(x + 14\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x + 1}{x + 6} - 1 + \frac{x + 1}{x - 4}\right) + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -14 - 6 \sqrt[3]{12} - 4 \sqrt[3]{18}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 4$$
$$\lim_{x \to -6^-}\left(\frac{10 \left(2 x - \left(x + 14\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x + 1}{x + 6} - 1 + \frac{x + 1}{x - 4}\right) + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -6^+}\left(\frac{10 \left(2 x - \left(x + 14\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x + 1}{x + 6} - 1 + \frac{x + 1}{x - 4}\right) + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -6$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{10 \left(2 x - \left(x + 14\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x + 1}{x + 6} - 1 + \frac{x + 1}{x - 4}\right) + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{10 \left(2 x - \left(x + 14\right) \left(\left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x + 1}{x + 6} - 1 + \frac{x + 1}{x - 4}\right) + 2\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -14 - 6 \sqrt[3]{12} - 4 \sqrt[3]{18}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-14 - 6 \sqrt[3]{12} - 4 \sqrt[3]{18}, \infty\right)$$