Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=cosx y=cosx
  • y=3x^2-x^3 y=3x^2-x^3
  • 2*x^3-3*x 2*x^3-3*x
  • 3-x^2 3-x^2

  • Expresiones idénticas

  • ((x+ dos)*(x+ tres))/(x- dos)^ dos
  • ((x más 2) multiplicar por (x más 3)) dividir por (x menos 2) al cuadrado
  • ((x más dos) multiplicar por (x más tres)) dividir por (x menos dos) en el grado dos
  • ((x+2)*(x+3))/(x-2)2
  • x+2*x+3/x-22
  • ((x+2)*(x+3))/(x-2)²
  • ((x+2)*(x+3))/(x-2) en el grado 2
  • ((x+2)(x+3))/(x-2)^2
  • ((x+2)(x+3))/(x-2)2
  • x+2x+3/x-22
  • x+2x+3/x-2^2
  • ((x+2)*(x+3)) dividir por (x-2)^2

  • Expresiones semejantes

  • ((x+2)*(x-3))/(x-2)^2
  • ((x+2)*(x+3))/(x+2)^2
  • ((x-2)*(x+3))/(x-2)^2
Trazado el gráfico de la función/ ((x+2)*(x+3))/(x-2)^2

Gráfico de la función y = ((x+2)*(x+3))/(x-2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (x + 2)*(x + 3)
f(x) = ---------------
                  2   
           (x - 2)
f(x)=(x+2)(x+3)(x−2)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} 
f = ((x + 2)*(x + 3))/(x - 2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)(x+3)(x−2)2=0\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Solución numérica
x1=−3x_{1} = -3
x2=−2x_{2} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x + 3))/(x - 2)^2.
2⋅3(−2)2\frac{2 \cdot 3}{\left(-2\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=32f{\left(0 \right)} = \frac{3}{2}
Punto:
(0, 3/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(4−2x)(x+2)(x+3)(x−2)4+2x+5(x−2)2=0\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{2 x + 5}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−229x_{1} = - \frac{22}{9}
Signos de extremos en los puntos:
(-22/9, -1/80)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−229x_{1} = - \frac{22}{9}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−229,∞)\left[- \frac{22}{9}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−229]\left(-\infty, - \frac{22}{9}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2(2x+5)x−2+3(x+2)(x+3)(x−2)2)(x−2)2=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−143x_{1} = - \frac{14}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2(1−2(2x+5)x−2+3(x+2)(x+3)(x−2)2)(x−2)2)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2(1−2(2x+5)x−2+3(x+2)(x+3)(x−2)2)(x−2)2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−143,∞)\left[- \frac{14}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−143]\left(-\infty, - \frac{14}{3}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)(x+3)(x−2)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x+2)(x+3)(x−2)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x + 3))/(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)(x+3)x(x−2)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x+2)(x+3)x(x−2)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)(x+3)(x−2)2=(2−x)(3−x)(−x−2)2\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- No
(x+2)(x+3)(x−2)2=−(2−x)(3−x)(−x−2)2\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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