Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^4+x^2
-
x-e
-
x*(-8)/(x^2+4)
-
x*e^(-x^2/2)
-
Expresiones idénticas
- ((x+ dos)*(x+ tres))/(x- dos)^ dos
- ((x más 2) multiplicar por (x más 3)) dividir por (x menos 2) al cuadrado
- ((x más dos) multiplicar por (x más tres)) dividir por (x menos dos) en el grado dos
- ((x+2)*(x+3))/(x-2)2
- x+2*x+3/x-22
- ((x+2)*(x+3))/(x-2)²
- ((x+2)*(x+3))/(x-2) en el grado 2
- ((x+2)(x+3))/(x-2)^2
- ((x+2)(x+3))/(x-2)2
- x+2x+3/x-22
- x+2x+3/x-2^2
- ((x+2)*(x+3)) dividir por (x-2)^2
-
Expresiones semejantes
- ((x-2)*(x+3))/(x-2)^2
- ((x+2)*(x+3))/(x+2)^2
- ((x+2)*(x-3))/(x-2)^2
Gráfico de la función y = ((x+2)*(x+3))/(x-2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
(x + 2)*(x + 3)
f(x) = ---------------
2
(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}$$
f = ((x + 2)*(x + 3))/(x - 2)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{2 x + 5}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{22}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{22}{9}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{22}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{22}{9}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - 2 x\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{4}} + \frac{2 x + 5}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{22}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
(-22/9, -1/80)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{22}{9}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{22}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{22}{9}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{14}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{14}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{14}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{14}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{2 \left(2 x + 5\right)}{x - 2} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{14}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{14}{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x + 3))/(x - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x \left(x - 2\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(3 - x\right)}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar