Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- x=y*(y/(uno +y))^(dos / tres)
- x es igual a y multiplicar por (y dividir por (1 más y)) en el grado (2 dividir por 3)
- x es igual a y multiplicar por (y dividir por (uno más y)) en el grado (dos dividir por tres)
- x=y*(y/(1+y))(2/3)
- x=y*y/1+y2/3
- x=y(y/(1+y))^(2/3)
- x=y(y/(1+y))(2/3)
- x=yy/1+y2/3
- x=yy/1+y^2/3
- x=y*(y dividir por (1+y))^(2 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- x=y*(y/(1-y))^(2/3)
Gráfico de la función y = x=y*(y/(1+y))^(2/3)
Solución
Ha introducido
[src]
2/3
/ y \
f(y) = y*|-----|
\1 + y/
$$f{\left(y \right)} = y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}}$$
f = y*(y/(y + 1))^(2/3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} \left(y + 1\right) \left(- \frac{2 y}{3 \left(y + 1\right)^{2}} + \frac{2}{3 \left(y + 1\right)}\right) + \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$y_{2} = 0$$
$$y_{3} = - \frac{\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}{-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}$$
$$y_{4} = - \frac{\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}{-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$y_{1} = - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}$$
$$y_{1} = - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right) \cup \left(\left(-\infty, - \frac{5}{3}\right] \cap \left(-\infty, - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}\right] \cap \left(-\infty, - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}\right]\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{3}, 0\right] \cap \left[- \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right) \cap \left[- \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$\left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} \left(y + 1\right) \left(- \frac{2 y}{3 \left(y + 1\right)^{2}} + \frac{2}{3 \left(y + 1\right)}\right) + \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$y_{2} = 0$$
$$y_{3} = - \frac{\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}{-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}$$
$$y_{4} = - \frac{\left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}{-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 ___ 2/3
-5*\/ 2 *5
(-5/3, -------------)
6 (0, 0)
2/3
/ 3 \
| / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ |
| | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | 3
| -|- ---------- - ------------------| | / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\
| \ 4 4 / | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 |
-|-------------------------------------------------------------------------------------------| *|- ---------- - ------------------|
|/ 3 \ | \ 4 4 /
|| / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ | |
|| | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | / 3\|
|| |- ---------- - ------------------| | | / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ ||
|| \ 4 4 / | | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | ||
||1 - -----------------------------------------|*|-1 + |- ---------- - ------------------| ||
3 || 3| \ \ 4 4 / /|
/ 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ || / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ | |
| 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | || | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | |
-|- ---------- - ------------------| || -1 + |- ---------- - ------------------| | |
\ 4 4 / \\ \ 4 4 / / /
(-----------------------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 3
/ 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\
| 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 |
-1 + |- ---------- - ------------------| -1 + |- ---------- - ------------------|
\ 4 4 / \ 4 4 / 2/3
/ 3 \
| / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ |
| | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | 3
| -|- ---------- + ------------------| | / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\
| \ 4 4 / | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 |
-|-------------------------------------------------------------------------------------------| *|- ---------- + ------------------|
|/ 3 \ | \ 4 4 /
|| / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ | |
|| | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | / 3\|
|| |- ---------- + ------------------| | | / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ ||
|| \ 4 4 / | | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | ||
||1 - -----------------------------------------|*|-1 + |- ---------- + ------------------| ||
3 || 3| \ \ 4 4 / /|
/ 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ || / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ | |
| 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | || | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | |
-|- ---------- + ------------------| || -1 + |- ---------- + ------------------| | |
\ 4 4 / \\ \ 4 4 / / /
(-----------------------------------------, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
3 3
/ 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\ / 2/3 3 ___ 2/3 ___ 3 ___\
| 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 | | 2 *\/ 5 I*2 *\/ 3 *\/ 5 |
-1 + |- ---------- + ------------------| -1 + |- ---------- + ------------------|
\ 4 4 / \ 4 4 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = - \frac{5}{3}$$
$$y_{1} = - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}$$
$$y_{1} = - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right) \cup \left(\left(-\infty, - \frac{5}{3}\right] \cap \left(-\infty, - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}\right] \cap \left(-\infty, - \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}\right]\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{3}, 0\right] \cap \left[- \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} - \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right) \cap \left[- \frac{5}{2 \left(-1 + \left(- \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt[3]{5}}{4} + \frac{2^{\frac{2}{3}} \sqrt{3} \sqrt[3]{5} i}{4}\right)^{3}\right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{y}{y + 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y + 1} + \frac{2 \left(\frac{y}{y + 1} - 1\right)}{y} - \frac{3}{y}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{y}{y + 1} - 1\right) \left(\frac{3}{y + 1} + \frac{2 \left(\frac{y}{y + 1} - 1\right)}{y} - \frac{3}{y}\right)}{9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$y_{1} = -1$$
$$y_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y*(y/(1 + y))^(2/3), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = y$$
$$\lim_{y \to \infty} \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = y$$
$$\lim_{y \to -\infty} \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = y$$
$$\lim_{y \to \infty} \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = y$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = - y \left(- \frac{y}{1 - y}\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = y \left(- \frac{y}{1 - y}\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = - y \left(- \frac{y}{1 - y}\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$y \left(\frac{y}{y + 1}\right)^{\frac{2}{3}} = y \left(- \frac{y}{1 - y}\right)^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar