Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x+4
-
e^(-x^2)
-
x*(x-4)
-
x^3-6x+5
-
Expresiones idénticas
- r= dos (uno +cosy)
- r es igual a 2(1 más coseno de y)
- r es igual a dos (uno más coseno de y)
- r=21+cosy
-
Expresiones semejantes
- r=2(1-cosy)
Gráfico de la función y = r=2(1+cosy)
Solución
Ha introducido
[src]
f(y) = 2*(1 + cos(y))
$$f{\left(y \right)} = 2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)$$
f = 2*(cos(y) + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$y_{1} = 3.1415922548952$$
$$y_{2} = 47.1238902162437$$
$$y_{3} = 28.2743335663982$$
$$y_{4} = -21.9911485864417$$
$$y_{5} = -21.991148226056$$
$$y_{6} = 21.9911485852059$$
$$y_{7} = -3.14159295109225$$
$$y_{8} = 72.2566310277176$$
$$y_{9} = 59.6902599104079$$
$$y_{10} = -28.2743340989896$$
$$y_{11} = 21.9911480932338$$
$$y_{12} = -84.8230020565447$$
$$y_{13} = 65.9734457529812$$
$$y_{14} = 40.8407049800347$$
$$y_{15} = -47.1238901083229$$
$$y_{16} = 15.7079634518075$$
$$y_{17} = 65.9734460390947$$
$$y_{18} = 15.7079627593774$$
$$y_{19} = -53.4070745963886$$
$$y_{20} = -84.8230012511693$$
$$y_{21} = 28.2743338651796$$
$$y_{22} = 40.8407045792514$$
$$y_{23} = 97.3893717959212$$
$$y_{24} = -97.3893716284562$$
$$y_{25} = -72.2566315419804$$
$$y_{26} = -72.2566308657983$$
$$y_{27} = -40.8407049008781$$
$$y_{28} = 59.6902606104322$$
$$y_{29} = 47.123889410773$$
$$y_{30} = -9.42477752082051$$
$$y_{31} = -21.9911490521325$$
$$y_{32} = -34.5575188899093$$
$$y_{33} = 78.5398168562347$$
$$y_{34} = -47.1238893275319$$
$$y_{35} = 91.1061865667532$$
$$y_{36} = 34.5575197055812$$
$$y_{37} = 84.8230021335997$$
$$y_{38} = 40.8407045848602$$
$$y_{39} = -65.9734449870253$$
$$y_{40} = -28.2743343914215$$
$$y_{41} = -97.3893717476911$$
$$y_{42} = 78.5398152766482$$
$$y_{43} = -91.106187265474$$
$$y_{44} = -15.7079632965989$$
$$y_{45} = 84.8230013636028$$
$$y_{46} = 9.42477748794163$$
$$y_{47} = 15.707963957033$$
$$y_{48} = -15.7079635641079$$
$$y_{49} = -15.707962774825$$
$$y_{50} = -1127.83176318906$$
$$y_{51} = -53.407075294995$$
$$y_{52} = 59.6902600526626$$
$$y_{53} = -91.1061864815274$$
$$y_{54} = -65.9734457649277$$
$$y_{55} = -53.4070745786761$$
$$y_{56} = 65.9734452390837$$
$$y_{57} = 97.389372581711$$
$$y_{58} = -59.6902604578012$$
$$y_{59} = 28.2743343711514$$
$$y_{60} = 53.4070746418597$$
$$y_{61} = -34.5575196658297$$
$$y_{62} = -3.14159217367683$$
$$y_{63} = 34.5575190219169$$
$$y_{64} = -65.9734461969855$$
$$y_{65} = -78.5398168194507$$
$$y_{66} = 78.5398161804942$$
$$y_{67} = -65.9734453607004$$
$$y_{68} = -59.6902599212271$$
$$y_{69} = 21.9911489072506$$
$$y_{70} = 91.1061873718352$$
$$y_{71} = -28.2743337069329$$
$$y_{72} = -40.8407049290801$$
$$y_{73} = 40.8407042062167$$
$$y_{74} = 72.2566306985$$
$$y_{75} = 9.42477826738203$$
$$y_{76} = 15.7079629803241$$
$$y_{77} = -9.4247781365785$$
$$y_{78} = 72.2566315166773$$
$$y_{79} = -9.42477744529557$$
$$y_{80} = -97.3893724533348$$
$$y_{81} = 78.5398166181283$$
$$y_{82} = -40.8407040952604$$
$$y_{83} = -72.2566311847166$$
$$y_{84} = -59.6902606928653$$
$$y_{85} = 53.407075424589$$
$$y_{86} = 3.14159306054457$$
$$y_{87} = -78.5398160472843$$
$$y_{88} = 34.5575195449229$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = \pi$$
Solución numérica
$$y_{1} = 3.1415922548952$$
$$y_{2} = 47.1238902162437$$
$$y_{3} = 28.2743335663982$$
$$y_{4} = -21.9911485864417$$
$$y_{5} = -21.991148226056$$
$$y_{6} = 21.9911485852059$$
$$y_{7} = -3.14159295109225$$
$$y_{8} = 72.2566310277176$$
$$y_{9} = 59.6902599104079$$
$$y_{10} = -28.2743340989896$$
$$y_{11} = 21.9911480932338$$
$$y_{12} = -84.8230020565447$$
$$y_{13} = 65.9734457529812$$
$$y_{14} = 40.8407049800347$$
$$y_{15} = -47.1238901083229$$
$$y_{16} = 15.7079634518075$$
$$y_{17} = 65.9734460390947$$
$$y_{18} = 15.7079627593774$$
$$y_{19} = -53.4070745963886$$
$$y_{20} = -84.8230012511693$$
$$y_{21} = 28.2743338651796$$
$$y_{22} = 40.8407045792514$$
$$y_{23} = 97.3893717959212$$
$$y_{24} = -97.3893716284562$$
$$y_{25} = -72.2566315419804$$
$$y_{26} = -72.2566308657983$$
$$y_{27} = -40.8407049008781$$
$$y_{28} = 59.6902606104322$$
$$y_{29} = 47.123889410773$$
$$y_{30} = -9.42477752082051$$
$$y_{31} = -21.9911490521325$$
$$y_{32} = -34.5575188899093$$
$$y_{33} = 78.5398168562347$$
$$y_{34} = -47.1238893275319$$
$$y_{35} = 91.1061865667532$$
$$y_{36} = 34.5575197055812$$
$$y_{37} = 84.8230021335997$$
$$y_{38} = 40.8407045848602$$
$$y_{39} = -65.9734449870253$$
$$y_{40} = -28.2743343914215$$
$$y_{41} = -97.3893717476911$$
$$y_{42} = 78.5398152766482$$
$$y_{43} = -91.106187265474$$
$$y_{44} = -15.7079632965989$$
$$y_{45} = 84.8230013636028$$
$$y_{46} = 9.42477748794163$$
$$y_{47} = 15.707963957033$$
$$y_{48} = -15.7079635641079$$
$$y_{49} = -15.707962774825$$
$$y_{50} = -1127.83176318906$$
$$y_{51} = -53.407075294995$$
$$y_{52} = 59.6902600526626$$
$$y_{53} = -91.1061864815274$$
$$y_{54} = -65.9734457649277$$
$$y_{55} = -53.4070745786761$$
$$y_{56} = 65.9734452390837$$
$$y_{57} = 97.389372581711$$
$$y_{58} = -59.6902604578012$$
$$y_{59} = 28.2743343711514$$
$$y_{60} = 53.4070746418597$$
$$y_{61} = -34.5575196658297$$
$$y_{62} = -3.14159217367683$$
$$y_{63} = 34.5575190219169$$
$$y_{64} = -65.9734461969855$$
$$y_{65} = -78.5398168194507$$
$$y_{66} = 78.5398161804942$$
$$y_{67} = -65.9734453607004$$
$$y_{68} = -59.6902599212271$$
$$y_{69} = 21.9911489072506$$
$$y_{70} = 91.1061873718352$$
$$y_{71} = -28.2743337069329$$
$$y_{72} = -40.8407049290801$$
$$y_{73} = 40.8407042062167$$
$$y_{74} = 72.2566306985$$
$$y_{75} = 9.42477826738203$$
$$y_{76} = 15.7079629803241$$
$$y_{77} = -9.4247781365785$$
$$y_{78} = 72.2566315166773$$
$$y_{79} = -9.42477744529557$$
$$y_{80} = -97.3893724533348$$
$$y_{81} = 78.5398166181283$$
$$y_{82} = -40.8407040952604$$
$$y_{83} = -72.2566311847166$$
$$y_{84} = -59.6902606928653$$
$$y_{85} = 53.407075424589$$
$$y_{86} = 3.14159306054457$$
$$y_{87} = -78.5398160472843$$
$$y_{88} = 34.5575195449229$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(y \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(y \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 4)
(pi, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \pi\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \cos{\left(y \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \cos{\left(y \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$y_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
$$\lim_{y \to -\infty}\left(2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)\right) = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 4\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*(1 + cos(y)), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = 2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)$$
- Sí
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = - 2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = 2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)$$
- Sí
$$2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right) = - 2 \left(\cos{\left(y \right)} + 1\right)$$
- No
es decir, función
es
par