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(x^2-2x-2)/(3x+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-2x-2)/(3x+1)

Gráfico de la función y = (x^2-2x-2)/(3x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 2*x - 2
f(x) = ------------
         3*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1}$$ 
f = (x^2 - 2*x - 2)/(3*x + 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.732050807568877$$
$$x_{2} = 2.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 2*x - 2)/(3*x + 1).
$$\frac{-2 + \left(0^{2} - 0\right)}{0 \cdot 3 + 1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x - 2}{3 x + 1} - \frac{3 \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 2\right)}{\left(3 x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{6 \left(x - 1\right)}{3 x + 1} + 1 - \frac{9 \left(- x^{2} + 2 x + 2\right)}{\left(3 x + 1\right)^{2}}\right)}{3 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 2*x - 2)/(3*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{x \left(3 x + 1\right)}\right) = \frac{1}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1} = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{1 - 3 x}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 2 x\right) - 2}{3 x + 1} = - \frac{x^{2} + 2 x - 2}{1 - 3 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-2x-2)/(3x+1)
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