Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2x+3)/(3x-1)

Gráfico de la función y = (2x+3)/(3x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       2*x + 3
f(x) = -------
       3*x - 1
f(x)=2x+33x−1f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 3}{3 x - 1} 
f = (2*x + 3)/(3*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0.333333333333333x_{1} = 0.333333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x+33x−1=0\frac{2 x + 3}{3 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−32x_{1} = - \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=−1.5x_{1} = -1.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 3)/(3*x - 1).
0⋅2+3−1+0⋅3\frac{0 \cdot 2 + 3}{-1 + 0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3(2x+3)(3x−1)2+23x−1=0- \frac{3 \left(2 x + 3\right)}{\left(3 x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{3 x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(3(2x+3)3x−1−2)(3x−1)2=0\frac{6 \left(\frac{3 \left(2 x + 3\right)}{3 x - 1} - 2\right)}{\left(3 x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0.333333333333333x_{1} = 0.333333333333333
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x+33x−1)=23\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{3 x - 1}\right) = \frac{2}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=23y = \frac{2}{3}
lim⁡x→∞(2x+33x−1)=23\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{3 x - 1}\right) = \frac{2}{3}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=23y = \frac{2}{3}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 3)/(3*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x+3x(3x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(3 x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x+3x(3x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(3 x - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x+33x−1=3−2x−3x−1\frac{2 x + 3}{3 x - 1} = \frac{3 - 2 x}{- 3 x - 1}
- No
2x+33x−1=−3−2x−3x−1\frac{2 x + 3}{3 x - 1} = - \frac{3 - 2 x}{- 3 x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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