Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x*(x-4)
-
x/(x^2-1)^(1/3)
-
x*e^(-((x^2)/2))
-
(x^2-5)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- (3x- uno)(3x+ uno)/3x^ dos
- (3x menos 1)(3x más 1) dividir por 3x al cuadrado
- (3x menos uno)(3x más uno) dividir por 3x en el grado dos
- (3x-1)(3x+1)/3x2
- 3x-13x+1/3x2
- (3x-1)(3x+1)/3x²
- (3x-1)(3x+1)/3x en el grado 2
- 3x-13x+1/3x^2
- (3x-1)(3x+1) dividir por 3x^2
-
Expresiones semejantes
- (3x+1)(3x+1)/3x^2
- (3x-1)(3x-1)/3x^2
Gráfico de la función y = (3x-1)(3x+1)/3x^2
Solución
Ha introducido
[src]
(3*x - 1)*(3*x + 1) 2
f(x) = -------------------*x
3
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}$$
f = x^2*(((3*x - 1)*(3*x + 1))/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
$$x_{2} = 0.333333333333333$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.333333333333333$$
$$x_{2} = 0.333333333333333$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$6 x^{3} + \frac{2 x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{2}}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$6 x^{3} + \frac{2 x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
/ ___\ / ___\
| \/ 2 | | \/ 2 |
___ |1 - -----|*|-1 - -----|
-\/ 2 \ 2 / \ 2 /
(-------, ------------------------)
6 54 / ___\ / ___\
| \/ 2 | | \/ 2 |
___ |1 + -----|*|-1 + -----|
\/ 2 \ 2 / \ 2 /
(-----, ------------------------)
6 54 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2}}{6}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{6}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{2}}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(15 x^{2} + \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{18}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{18}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{18}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{18}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{18}, \frac{\sqrt{6}}{18}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(15 x^{2} + \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{18}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{18}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{18}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{18}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{6}}{18}, \frac{\sqrt{6}}{18}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((3*x - 1)*(3*x + 1))/3)*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = \frac{x^{2} \left(1 - 3 x\right) \left(- 3 x - 1\right)}{3}$$
- No
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = - \frac{x^{2} \left(1 - 3 x\right) \left(- 3 x - 1\right)}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = \frac{x^{2} \left(1 - 3 x\right) \left(- 3 x - 1\right)}{3}$$
- No
$$x^{2} \frac{\left(3 x - 1\right) \left(3 x + 1\right)}{3} = - \frac{x^{2} \left(1 - 3 x\right) \left(- 3 x - 1\right)}{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar