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Trazado el gráfico de la función/ x-1/(2x+1)(2-x)

Gráfico de la función y = x-1/(2x+1)(2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2 - x 
f(x) = x - -------
           2*x + 1
f(x)=x−2−x2x+1f{\left(x \right)} = x - \frac{2 - x}{2 x + 1} 
f = x - (2 - x)/(2*x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−2−x2x+1=0x - \frac{2 - x}{2 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=−52−12x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=−1.61803398874989x_{1} = -1.61803398874989
x2=0.618033988749895x_{2} = 0.618033988749895
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x - (2 - x)/(2*x + 1).
−2−00⋅2+1- \frac{2 - 0}{0 \cdot 2 + 1}
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(2−x)(2x+1)2+1+12x+1=0\frac{2 \left(2 - x\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + 1 + \frac{1}{2 x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(2(x−2)2x+1−1)(2x+1)2=0\frac{4 \left(\frac{2 \left(x - 2\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.5x_{1} = -0.5
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−2−x2x+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{2 - x}{2 x + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−2−x2x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{2 - x}{2 x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x - (2 - x)/(2*x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−2−x2x+1x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{2 - x}{2 x + 1}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x−2−x2x+1x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{2 - x}{2 x + 1}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−2−x2x+1=−x−x+21−2xx - \frac{2 - x}{2 x + 1} = - x - \frac{x + 2}{1 - 2 x}
- No
x−2−x2x+1=x+x+21−2xx - \frac{2 - x}{2 x + 1} = x + \frac{x + 2}{1 - 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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