Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2-x^3
-
2*x^2-20*x+1
-
(2-x^2)/(9x^2-4)^1/2
-
2+3*cos(4*x)
-
Expresiones idénticas
- (uno / cuatro)*(x^ tres + nueve x^ dos +15x-9)
- (1 dividir por 4) multiplicar por (x al cubo más 9x al cuadrado más 15x menos 9)
- (uno dividir por cuatro) multiplicar por (x en el grado tres más nueve x en el grado dos más 15x menos 9)
- (1/4)*(x3+9x2+15x-9)
- 1/4*x3+9x2+15x-9
- (1/4)*(x³+9x²+15x-9)
- (1/4)*(x en el grado 3+9x en el grado 2+15x-9)
- (1/4)(x^3+9x^2+15x-9)
- (1/4)(x3+9x2+15x-9)
- 1/4x3+9x2+15x-9
- 1/4x^3+9x^2+15x-9
- (1 dividir por 4)*(x^3+9x^2+15x-9)
-
Expresiones semejantes
- (1/4)*(x^3-9x^2+15x-9)
- (1/4)*(x^3+9x^2+15x+9)
- (1/4)*(x^3+9x^2-15x-9)
Gráfico de la función y = (1/4)*(x^3+9x^2+15x-9)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
x + 9*x + 15*x - 9
f(x) = --------------------
4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4}$$
f = (15*x + x^3 + 9*x^2 - 9)/4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.46410161513775$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 0.464101615137755$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$x_{3} = - 2 \sqrt{3} - 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -6.46410161513775$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = 0.464101615137755$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{15}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -5$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-5, -1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{9 x}{2} + \frac{15}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5$$
$$x_{2} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-5, 4)
(-1, -4)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -5$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -5\right] \cup \left[-1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-5, -1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(x + 3\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 \left(x + 3\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 9*x^2 + 15*x - 9)/4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4 x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = - \frac{x^{3}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{15 x}{4} - \frac{9}{4}$$
- No
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{4} + \frac{9}{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = - \frac{x^{3}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{15 x}{4} - \frac{9}{4}$$
- No
$$\frac{\left(15 x + \left(x^{3} + 9 x^{2}\right)\right) - 9}{4} = \frac{x^{3}}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{15 x}{4} + \frac{9}{4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico