Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1-x^2)
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3+x
-
y=(x^3)/(x^2-4)
-
Expresiones idénticas
- (x+ tres)^ dos /(x- tres)^ dos
- (x más 3) al cuadrado dividir por (x menos 3) al cuadrado
- (x más tres) en el grado dos dividir por (x menos tres) en el grado dos
- (x+3)2/(x-3)2
- x+32/x-32
- (x+3)²/(x-3)²
- (x+3) en el grado 2/(x-3) en el grado 2
- x+3^2/x-3^2
- (x+3)^2 dividir por (x-3)^2
-
Expresiones semejantes
- (x-3)^2/(x-3)^2
- (x+3)^2/(x+3)^2
Gráfico de la función y = (x+3)^2/(x-3)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x + 3)
f(x) = --------
2
(x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}$$
f = (x + 3)^2/(x - 3)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.99999921065196$$
$$x_{2} = -3.00000054658057$$
$$x_{3} = -2.99999418662105$$
$$x_{4} = -3.00000040350517$$
$$x_{5} = -2.99999908147988$$
$$x_{6} = -3.00000029184544$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.99999921065196$$
$$x_{2} = -3.00000054658057$$
$$x_{3} = -2.99999418662105$$
$$x_{4} = -3.00000040350517$$
$$x_{5} = -2.99999908147988$$
$$x_{6} = -3.00000029184544$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{2 x + 6}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{2 x + 6}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -6\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -6\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 3)^2/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico