Sr Examen

Otras calculadoras


(x+3)^2/(x-3)^2
  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3+3*x^2+2 x^3+3*x^2+2
  • -sqrt(3*x+1) -sqrt(3*x+1)
  • x*(-1-log(x)) x*(-1-log(x))
  • x+1/(x-1)^2 x+1/(x-1)^2
  • Expresiones idénticas

  • (x+ tres)^ dos /(x- tres)^ dos
  • (x más 3) al cuadrado dividir por (x menos 3) al cuadrado
  • (x más tres) en el grado dos dividir por (x menos tres) en el grado dos
  • (x+3)2/(x-3)2
  • x+32/x-32
  • (x+3)²/(x-3)²
  • (x+3) en el grado 2/(x-3) en el grado 2
  • x+3^2/x-3^2
  • (x+3)^2 dividir por (x-3)^2
  • Expresiones semejantes

  • (x-3)^2/(x-3)^2
  • (x+3)^2/(x+3)^2

Gráfico de la función y = (x+3)^2/(x-3)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              2
       (x + 3) 
f(x) = --------
              2
       (x - 3) 
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}$$
f = (x + 3)^2/(x - 3)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -3$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.99999921065196$$
$$x_{2} = -3.00000054658057$$
$$x_{3} = -2.99999418662105$$
$$x_{4} = -3.00000040350517$$
$$x_{5} = -2.99999908147988$$
$$x_{6} = -3.00000029184544$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 3)^2/(x - 3)^2.
$$\frac{3^{2}}{\left(-3\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{2 x + 6}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -3$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -6$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 3\right)}{x - 3} + \frac{3 \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -6\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 3)^2/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right)^{2}} = - \frac{\left(3 - x\right)^{2}}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x+3)^2/(x-3)^2