Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- (dos *x^ dos - ocho *x+ once)/(x+ dos)*(x- tres)
- (2 multiplicar por x al cuadrado menos 8 multiplicar por x más 11) dividir por (x más 2) multiplicar por (x menos 3)
- (dos multiplicar por x en el grado dos menos ocho multiplicar por x más once) dividir por (x más dos) multiplicar por (x menos tres)
- (2*x2-8*x+11)/(x+2)*(x-3)
- 2*x2-8*x+11/x+2*x-3
- (2*x²-8*x+11)/(x+2)*(x-3)
- (2*x en el grado 2-8*x+11)/(x+2)*(x-3)
- (2x^2-8x+11)/(x+2)(x-3)
- (2x2-8x+11)/(x+2)(x-3)
- 2x2-8x+11/x+2x-3
- 2x^2-8x+11/x+2x-3
- (2*x^2-8*x+11) dividir por (x+2)*(x-3)
-
Expresiones semejantes
- (2*x^2-8*x+11)/(x-2)*(x-3)
- (2*x^2+8*x+11)/(x+2)*(x-3)
- (2*x^2-8*x+11)/(x+2)*(x+3)
- (2*x^2-8*x-11)/(x+2)*(x-3)
Gráfico de la función y = (2*x^2-8*x+11)/(x+2)*(x-3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2*x - 8*x + 11
f(x) = ---------------*(x - 3)
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right)$$
f = ((2*x^2 - 8*x + 11)/(x + 2))*(x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x - 8}{x + 2} - \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) + \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x - 8}{x + 2} - \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) + \frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
/ ___________________\ | / ___________________\ ___________________ |
| / ______ | | | / ______ | / ______ |
| / 15*\/ 6951 | | | / 15*\/ 6951 | / 15*\/ 6951 |
| 3 / 316 + ----------- | | | 3 / 316 + ----------- | 8*3 / 316 + ----------- |
| 17 169 \/ 8 | |29 |1 169 \/ 8 | \/ 8 338 |
|- -- - --------------------------- - ------------------------|*|-- + 2*|- - --------------------------- - ------------------------| + -------------------------- + --------------------------|
___________________ | 6 ___________________ 3 | |3 |6 ___________________ 3 | 3 ___________________|
/ ______ | / ______ | | | / ______ | / ______ |
/ 15*\/ 6951 | / 15*\/ 6951 | | | / 15*\/ 6951 | / 15*\/ 6951 |
3 / 316 + ----------- | 12*3 / 316 + ----------- | | | 12*3 / 316 + ----------- | 3*3 / 316 + ----------- |
1 169 \/ 8 \ \/ 8 / \ \ \/ 8 / \/ 8 /
(- - --------------------------- - ------------------------, ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
6 ___________________ 3 ___________________
/ ______ / ______
/ 15*\/ 6951 / 15*\/ 6951
12*3 / 316 + ----------- 3 / 316 + -----------
\/ 8 13 169 \/ 8
-- - --------------------------- - ------------------------
6 ___________________ 3
/ ______
/ 15*\/ 6951
12*3 / 316 + -----------
\/ 8 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}}{3} - \frac{169}{12 \sqrt[3]{\frac{15 \sqrt{6951}}{8} + 316}} + \frac{1}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(4 x + \left(x - 3\right) \left(- \frac{4 \left(x - 2\right)}{x + 2} + 2 + \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{\left(x + 2\right)^{2}}\right) - 8 - \frac{2 x \left(x - 4\right) + 11}{x + 2}\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \frac{\sqrt[3]{175} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2*x^2 - 8*x + 11)/(x + 2))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = \frac{\left(- x - 3\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 11\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = - \frac{\left(- x - 3\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 11\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = \frac{\left(- x - 3\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 11\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(2 x^{2} - 8 x\right) + 11}{x + 2} \left(x - 3\right) = - \frac{\left(- x - 3\right) \left(2 x^{2} + 8 x + 11\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar