Sr Examen

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Gráfico de la función y = √x/(x+1)*(x-1)*(x-2)*(x-3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         ___                        
       \/ x                         
f(x) = -----*(x - 1)*(x - 2)*(x - 3)
       x + 1                        
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)$$
f = (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
$$x_{4} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3).
$$\left(-3\right) \left(-2\right) \left(-1\right) \frac{\sqrt{0}}{1}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -0.0735369404661426$$
$$x_{2} = 0.447896973541352$$
$$x_{3} = 1.97245800730545$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = \infty i$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \sqrt{x} \left(x - 1\right) + \left(2 \sqrt{x} - \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right) \left(x - 2\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(- 8 \sqrt{x} + \left(x - 2\right) \left(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1} + \left(x - 1\right) \left(- \frac{8 \sqrt{x}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{4}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\right) - \frac{4}{\sqrt{x}}\right) + 4 \left(x - 1\right) \left(\frac{2 \sqrt{x}}{x + 1} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)}{4}}{x + 1}\right) = - \infty i$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0.447896973541352\right] \cup \left[1.97245800730545, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0.447896973541352, 1.97245800730545\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((sqrt(x)/(x + 1))*(x - 1))*(x - 2))*(x - 3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\sqrt{x} \left(x + 1\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
$$\frac{\sqrt{x}}{x + 1} \left(x - 1\right) \left(x - 2\right) \left(x - 3\right) = - \frac{\sqrt{- x} \left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}{1 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar