Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
-x^4+5x^2-4
-
x^3/
-
Expresiones idénticas
- ((x+ dos)((x^ dos)+6x+ cuatro))/((x+ uno)^ dos)
- ((x más 2)((x al cuadrado ) más 6x más 4)) dividir por ((x más 1) al cuadrado )
- ((x más dos)((x en el grado dos) más 6x más cuatro)) dividir por ((x más uno) en el grado dos)
- ((x+2)((x2)+6x+4))/((x+1)2)
- x+2x2+6x+4/x+12
- ((x+2)((x²)+6x+4))/((x+1)²)
- ((x+2)((x en el grado 2)+6x+4))/((x+1) en el grado 2)
- x+2x^2+6x+4/x+1^2
- ((x+2)((x^2)+6x+4)) dividir por ((x+1)^2)
-
Expresiones semejantes
- ((x+2)((x^2)-6x+4))/((x+1)^2)
- ((x-2)((x^2)+6x+4))/((x+1)^2)
- ((x+2)((x^2)+6x-4))/((x+1)^2)
- ((x+2)((x^2)+6x+4))/((x-1)^2)
Gráfico de la función y = ((x+2)((x^2)+6x+4))/((x+1)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
(x + 2)*\x + 6*x + 4/
f(x) = ----------------------
2
(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
f = ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -3 + \sqrt{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5.23606797749979$$
$$x_{3} = -0.76393202250021$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -3 + \sqrt{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5.23606797749979$$
$$x_{3} = -0.76393202250021$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 6 x + \left(x + 2\right) \left(2 x + 6\right) + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 6 x + \left(x + 2\right) \left(2 x + 6\right) + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 5/4)
(0, 8)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar