Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
2*x^2-6*x
y=5x
y=4^x
Gráfico de la función y = y(y-1)^3
Solución
Ha introducido
[src]
3 f(y) = y*(y - 1)
$$f{\left(y \right)} = y \left(y - 1\right)^{3}$$
f = y*(y - 1)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y \left(y - 1\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$y \left(y - 1\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
Solución numérica
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(y - 1\right) \left(2 y - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{1}{2}$$
$$y_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(y - 1\right) \left(2 y - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = \frac{1}{2}$$
$$y_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y \left(y - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(y \left(y - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to -\infty}\left(y \left(y - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty}\left(y \left(y - 1\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función y*(y - 1)^3, dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty} \left(y - 1\right)^{3} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} \left(y - 1\right)^{3} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{y \to -\infty} \left(y - 1\right)^{3} = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{y \to \infty} \left(y - 1\right)^{3} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$y \left(y - 1\right)^{3} = - y \left(- y - 1\right)^{3}$$
- No
$$y \left(y - 1\right)^{3} = y \left(- y - 1\right)^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$y \left(y - 1\right)^{3} = - y \left(- y - 1\right)^{3}$$
- No
$$y \left(y - 1\right)^{3} = y \left(- y - 1\right)^{3}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico