Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt[(-4+x)(1+x)(2+x)]

Gráfico de la función y = cbrt[(-4+x)(1+x)(2+x)]

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       3 __________________________
f(x) = \/ (-4 + x)*(1 + x)*(2 + x)
f(x)=(x−4)(x+1)(x+2)3f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} 
f = (((x - 4)*(x + 1))*(x + 2))^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−4)(x+1)(x+2)3=0\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=13−−154+453i33−313−154+453i3x_{1} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt[3]{-154 + 45 \sqrt{3} i}}{3} - \frac{31}{3 \sqrt[3]{-154 + 45 \sqrt{3} i}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((-4 + x)*(1 + x))*(2 + x))^(1/3).
−83\sqrt[3]{- 8}
Resultado:
f(0)=2−13f{\left(0 \right)} = 2 \sqrt[3]{-1}
Punto:
(0, 2*(-1)^(1/3))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−4)(x+1)(x+2)3((x−4)(x+1)3+(x+2)(2x−3)3)(x−4)(x+1)(x+2)=0\frac{\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} \left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right)}{3} + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{3}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.18925478761001x_{1} = 2.18925478761001
Signos de extremos en los puntos:
                                      3 ____ 
(2.1892547876100075, 2.89219638401751*\/ -1 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−4)(x+1)(x+2)3(2x−23−(x−4)(x+1)+(x+2)(2x−3)3(x+2)−(x−4)(x+1)+(x+2)(2x−3)3(x+1)−(x−4)(x+1)+(x+2)(2x−3)3(x−4)+((x−4)(x+1)+(x+2)(2x−3))((x−4)(x+1)+(x−4)(x+2)+(x+1)(x+2))9(x−4)(x+1)(x+2))(x−4)(x+1)(x+2)=0\frac{\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} \left(2 x - \frac{2}{3} - \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{3 \left(x + 2\right)} - \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{3 \left(x + 1\right)} - \frac{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)}{3 \left(x - 4\right)} + \frac{\left(\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x - 3\right)\right) \left(\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) + \left(x - 4\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)\right)}{9 \left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}\right)}{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37576.1636063132x_{1} = 37576.1636063132
x2=18905.736024923x_{2} = 18905.736024923
x3=−31026.1171181934x_{3} = -31026.1171181934
x4=40120.4800627526x_{4} = 40120.4800627526
x5=33335.1322068752x_{5} = 33335.1322068752
x6=−42052.8302130971x_{6} = -42052.8302130971
x7=18055.9684291778x_{7} = 18055.9684291778
x8=25698.8108623367x_{8} = 25698.8108623367
x9=22303.1885566847x_{9} = 22303.1885566847
x10=38424.290987035x_{10} = 38424.290987035
x11=26547.5115769114x_{11} = 26547.5115769114
x12=23152.2347764545x_{12} = 23152.2347764545
x13=30790.1205125939x_{13} = 30790.1205125939
x14=−35267.7485852798x_{14} = -35267.7485852798
x15=29941.7013268618x_{15} = 29941.7013268618
x16=−23387.8247260935x_{16} = -23387.8247260935
x17=35031.6312219438x_{17} = 35031.6312219438
x18=39272.3960043837x_{18} = 39272.3960043837
x19=−31874.5212240083x_{19} = -31874.5212240083
x20=28244.7181730787x_{20} = 28244.7181730787
x21=29093.2352690316x_{21} = 29093.2352690316
x22=27396.1453638743x_{22} = 27396.1453638743
x23=24850.036469584x_{23} = 24850.036469584
x24=−19140.8605714807x_{24} = -19140.8605714807
x25=20604.7465862269x_{25} = 20604.7465862269
x26=−25085.7497104915x_{26} = -25085.7497104915
x27=34183.3975375009x_{27} = 34183.3975375009
x28=−33571.2067469761x_{28} = -33571.2067469761
x29=35879.835480239x_{29} = 35879.835480239
x30=−30177.667455435x_{30} = -30177.667455435
x31=36728.0123294413x_{31} = 36728.0123294413
x32=−18290.9587847842x_{32} = -18290.9587847842
x33=32486.8327808479x_{33} = 32486.8327808479
x34=21454.0303554577x_{34} = 21454.0303554577
x35=41816.5903556324x_{35} = 41816.5903556324
x36=40968.5444513204x_{36} = 40968.5444513204
x37=19755.3213690928x_{37} = 19755.3213690928
x38=31638.4965506437x_{38} = 31638.4965506437
x39=24001.1807078717x_{39} = 24001.1807078717

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[35879.835480239,∞)\left[35879.835480239, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−31874.5212240083]\left(-\infty, -31874.5212240083\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−4)(x+1)(x+2)3=∞−13\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞−13y = \infty \sqrt[3]{-1}
lim⁡x→∞(x−4)(x+1)(x+2)3=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((-4 + x)*(1 + x))*(2 + x))^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−4)(x+1)(x+2)3x)=−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−−13xy = - \sqrt[3]{-1} x
lim⁡x→∞((x−4)(x+1)(x+2)3x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−4)(x+1)(x+2)3=(1−x)(2−x)(−x−4)3\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = \sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 4\right)}
- No
(x−4)(x+1)(x+2)3=−(1−x)(2−x)(−x−4)3\sqrt[3]{\left(x - 4\right) \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)} = - \sqrt[3]{\left(1 - x\right) \left(2 - x\right) \left(- x - 4\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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