Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^3-3*x^2+3
-
(x-3)^(1/3)
-
(x^2)/(x^2-4)
-
x^2/(x+2)^3
-
Expresiones idénticas
- (dos /pi)*sin(pi*x)
- (2 dividir por número pi ) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x)
- (dos dividir por número pi ) multiplicar por seno de ( número pi multiplicar por x)
- (2/pi)sin(pix)
- 2/pisinpix
- (2 dividir por pi)*sin(pi*x)
Gráfico de la función y = (2/pi)*sin(pi*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2
f(x) = --*sin(pi*x)
pi
$$f{\left(x \right)} = \frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)}$$
f = (2/pi)*sin(pi*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -56$$
$$x_{2} = 18$$
$$x_{3} = -66$$
$$x_{4} = 16$$
$$x_{5} = 26$$
$$x_{6} = -42$$
$$x_{7} = -30$$
$$x_{8} = 70$$
$$x_{9} = -46$$
$$x_{10} = 6$$
$$x_{11} = -38$$
$$x_{12} = -28$$
$$x_{13} = 72$$
$$x_{14} = 96$$
$$x_{15} = 100$$
$$x_{16} = -100$$
$$x_{17} = 22$$
$$x_{18} = -92$$
$$x_{19} = -24$$
$$x_{20} = -34$$
$$x_{21} = 76$$
$$x_{22} = -4$$
$$x_{23} = 38$$
$$x_{24} = -84$$
$$x_{25} = -86$$
$$x_{26} = -70$$
$$x_{27} = 46$$
$$x_{28} = 80$$
$$x_{29} = 44$$
$$x_{30} = -60$$
$$x_{31} = -74$$
$$x_{32} = -26$$
$$x_{33} = -80$$
$$x_{34} = 8$$
$$x_{35} = -82$$
$$x_{36} = -54$$
$$x_{37} = -18$$
$$x_{38} = 52$$
$$x_{39} = -64$$
$$x_{40} = 92$$
$$x_{41} = 82$$
$$x_{42} = -94$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = 24$$
$$x_{45} = 90$$
$$x_{46} = 36$$
$$x_{47} = 84$$
$$x_{48} = 88$$
$$x_{49} = -22$$
$$x_{50} = 68$$
$$x_{51} = -98$$
$$x_{52} = 86$$
$$x_{53} = 58$$
$$x_{54} = 14$$
$$x_{55} = 42$$
$$x_{56} = 48$$
$$x_{57} = -20$$
$$x_{58} = -52$$
$$x_{59} = -40$$
$$x_{60} = 32$$
$$x_{61} = -62$$
$$x_{62} = 50$$
$$x_{63} = 78$$
$$x_{64} = 40$$
$$x_{65} = 56$$
$$x_{66} = -14$$
$$x_{67} = -58$$
$$x_{68} = -48$$
$$x_{69} = 62$$
$$x_{70} = -10$$
$$x_{71} = -76$$
$$x_{72} = 74$$
$$x_{73} = 2$$
$$x_{74} = 34$$
$$x_{75} = 10$$
$$x_{76} = -90$$
$$x_{77} = -8$$
$$x_{78} = 28$$
$$x_{79} = -36$$
$$x_{80} = 60$$
$$x_{81} = 98$$
$$x_{82} = -50$$
$$x_{83} = -68$$
$$x_{84} = -32$$
$$x_{85} = -44$$
$$x_{86} = -2$$
$$x_{87} = 4$$
$$x_{88} = -78$$
$$x_{89} = 64$$
$$x_{90} = -12$$
$$x_{91} = 54$$
$$x_{92} = -72$$
$$x_{93} = -88$$
$$x_{94} = 66$$
$$x_{95} = -6$$
$$x_{96} = -16$$
$$x_{97} = 30$$
$$x_{98} = 12$$
$$x_{99} = 94$$
$$x_{100} = 20$$
$$x_{101} = -96$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -56$$
$$x_{2} = 18$$
$$x_{3} = -66$$
$$x_{4} = 16$$
$$x_{5} = 26$$
$$x_{6} = -42$$
$$x_{7} = -30$$
$$x_{8} = 70$$
$$x_{9} = -46$$
$$x_{10} = 6$$
$$x_{11} = -38$$
$$x_{12} = -28$$
$$x_{13} = 72$$
$$x_{14} = 96$$
$$x_{15} = 100$$
$$x_{16} = -100$$
$$x_{17} = 22$$
$$x_{18} = -92$$
$$x_{19} = -24$$
$$x_{20} = -34$$
$$x_{21} = 76$$
$$x_{22} = -4$$
$$x_{23} = 38$$
$$x_{24} = -84$$
$$x_{25} = -86$$
$$x_{26} = -70$$
$$x_{27} = 46$$
$$x_{28} = 80$$
$$x_{29} = 44$$
$$x_{30} = -60$$
$$x_{31} = -74$$
$$x_{32} = -26$$
$$x_{33} = -80$$
$$x_{34} = 8$$
$$x_{35} = -82$$
$$x_{36} = -54$$
$$x_{37} = -18$$
$$x_{38} = 52$$
$$x_{39} = -64$$
$$x_{40} = 92$$
$$x_{41} = 82$$
$$x_{42} = -94$$
$$x_{43} = 0$$
$$x_{44} = 24$$
$$x_{45} = 90$$
$$x_{46} = 36$$
$$x_{47} = 84$$
$$x_{48} = 88$$
$$x_{49} = -22$$
$$x_{50} = 68$$
$$x_{51} = -98$$
$$x_{52} = 86$$
$$x_{53} = 58$$
$$x_{54} = 14$$
$$x_{55} = 42$$
$$x_{56} = 48$$
$$x_{57} = -20$$
$$x_{58} = -52$$
$$x_{59} = -40$$
$$x_{60} = 32$$
$$x_{61} = -62$$
$$x_{62} = 50$$
$$x_{63} = 78$$
$$x_{64} = 40$$
$$x_{65} = 56$$
$$x_{66} = -14$$
$$x_{67} = -58$$
$$x_{68} = -48$$
$$x_{69} = 62$$
$$x_{70} = -10$$
$$x_{71} = -76$$
$$x_{72} = 74$$
$$x_{73} = 2$$
$$x_{74} = 34$$
$$x_{75} = 10$$
$$x_{76} = -90$$
$$x_{77} = -8$$
$$x_{78} = 28$$
$$x_{79} = -36$$
$$x_{80} = 60$$
$$x_{81} = 98$$
$$x_{82} = -50$$
$$x_{83} = -68$$
$$x_{84} = -32$$
$$x_{85} = -44$$
$$x_{86} = -2$$
$$x_{87} = 4$$
$$x_{88} = -78$$
$$x_{89} = 64$$
$$x_{90} = -12$$
$$x_{91} = 54$$
$$x_{92} = -72$$
$$x_{93} = -88$$
$$x_{94} = 66$$
$$x_{95} = -6$$
$$x_{96} = -16$$
$$x_{97} = 30$$
$$x_{98} = 12$$
$$x_{99} = 94$$
$$x_{100} = 20$$
$$x_{101} = -96$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \cos{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 \cos{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
(1/2, --)
pi -2
(3/2, ---)
pi Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \pi \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 2 \pi \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)}\right) = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \frac{\left\langle -2, 2\right\rangle}{\pi}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2/pi)*sin(pi*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$$
- No
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$$
- No
$$\frac{2}{\pi} \sin{\left(\pi x \right)} = \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico