Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
- Límite de la función:
- x/(2+2/(x^2+2*x))
-
Expresiones idénticas
- x/(dos + dos /(x^ dos + dos *x))
- x dividir por (2 más 2 dividir por (x al cuadrado más 2 multiplicar por x))
- x dividir por (dos más dos dividir por (x en el grado dos más dos multiplicar por x))
- x/(2+2/(x2+2*x))
- x/2+2/x2+2*x
- x/(2+2/(x²+2*x))
- x/(2+2/(x en el grado 2+2*x))
- x/(2+2/(x^2+2x))
- x/(2+2/(x2+2x))
- x/2+2/x2+2x
- x/2+2/x^2+2x
- x dividir por (2+2 dividir por (x^2+2*x))
-
Expresiones semejantes
- x/(2+2/(x^2-2*x))
- x/(2-2/(x^2+2*x))
Gráfico de la función y = x/(2+2/(x^2+2*x))
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = ------------
2
2 + --------
2
x + 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}}$$
f = x/(2 + 2/(x^2 + 2*x))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(- 2 x - 2\right)}{\left(2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(- 2 x - 2\right)}{\left(2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}\right)^{2} \left(x^{2} + 2 x\right)^{2}} + \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 4$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 4$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 4$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x \left(x + 2\right)} + \frac{2 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{4 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right) \left(x + 2\right)^{2}}}{x \left(1 + \frac{1}{x \left(x + 2\right)}\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(2 + 2/(x^2 + 2*x)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = - \frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} - 2 x}}$$
- No
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} - 2 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = - \frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} - 2 x}}$$
- No
$$\frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} + 2 x}} = \frac{x}{2 + \frac{2}{x^{2} - 2 x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar