Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^3
-
x*e^x
-
x^2-3*x+1
-
x^3/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- x^ tres -9x^ dos +15x
- x al cubo menos 9x al cuadrado más 15x
- x en el grado tres menos 9x en el grado dos más 15x
- x3-9x2+15x
- x³-9x²+15x
- x en el grado 3-9x en el grado 2+15x
-
Expresiones semejantes
- x^3+9x^2+15x
- x^3-9x^2-15x
Gráfico de la función y = x^3-9x^2+15x
Solución
Ha introducido
[src]
3 2 f(x) = x - 9*x + 15*x
$$f{\left(x \right)} = 15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)$$
f = 15*x + x^3 - 9*x^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{9}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.20871215252208$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 6.79128784747792$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{21}}{2} + \frac{9}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2.20871215252208$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 6.79128784747792$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 5\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 5$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 7)
(5, -25)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[1, 5\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$6 \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 3\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 9*x^2 + 15*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x$$
- No
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = - x^{3} - 9 x^{2} - 15 x$$
- No
$$15 x + \left(x^{3} - 9 x^{2}\right) = x^{3} + 9 x^{2} + 15 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico