Sr Examen

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atan(2*x)/x
Trazado el gráfico de la función/ atan(2*x)/x

Gráfico de la función y = atan(2*x)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       atan(2*x)
f(x) = ---------
           x
f(x)=atan⁡(2x)xf{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} 
f = atan(2*x)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101004
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(2x)x=0\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x(4x2+1)−atan⁡(2x)x2=0\frac{2}{x \left(4 x^{2} + 1\right)} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−8(4x2+1)2−2x2(4x2+1)+atan⁡(2x)x3)=02 \left(- \frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=37495.9482372872x_{1} = 37495.9482372872
x2=−31431.7120267314x_{2} = -31431.7120267314
x3=−41602.6207258237x_{3} = -41602.6207258237
x4=30715.3735810553x_{4} = 30715.3735810553
x5=23934.9475985011x_{5} = 23934.9475985011
x6=39191.1060213421x_{6} = 39191.1060213421
x7=−25498.8094406069x_{7} = -25498.8094406069
x8=−28889.0228738707x_{8} = -28889.0228738707
x9=28172.6905893722x_{9} = 28172.6905893722
x10=34105.6479144478x_{10} = 34105.6479144478
x11=42581.4337794408x_{11} = 42581.4337794408
x12=−36517.1423633654x_{12} = -36517.1423633654
x13=−42450.2039018375x_{13} = -42450.2039018375
x14=18849.8236987768x_{14} = 18849.8236987768
x15=13765.0783402001x_{15} = 13765.0783402001
x16=−34821.99253386x_{16} = -34821.99253386
x17=31562.9392656591x_{17} = 31562.9392656591
x18=−39059.8767224905x_{18} = -39059.8767224905
x19=−18718.6072010202x_{19} = -18718.6072010202
x20=38343.5265648352x_{20} = 38343.5265648352
x21=−39907.4570770544x_{21} = -39907.4570770544
x22=16307.3811680521x_{22} = 16307.3811680521
x23=33258.076581398x_{23} = 33258.076581398
x24=23087.4114110973x_{24} = 23087.4114110973
x25=−35669.5667462001x_{25} = -35669.5667462001
x26=18002.3310464122x_{26} = 18002.3310464122
x27=29867.8101058239x_{27} = 29867.8101058239
x28=−17871.1161770063x_{28} = -17871.1161770063
x29=29020.249035495x_{29} = 29020.249035495
x30=40886.2680383924x_{30} = 40886.2680383924
x31=−26346.3578342418x_{31} = -26346.3578342418
x32=15459.9279005977x_{32} = 15459.9279005977
x33=−16176.170368212x_{33} = -16176.170368212
x34=−22108.6592491612x_{34} = -22108.6592491612
x35=−19566.1081803417x_{35} = -19566.1081803417
x36=25630.0336293753x_{36} = 25630.0336293753
x37=−37364.7192890114x_{37} = -37364.7192890114
x38=34953.2208565225x_{38} = 34953.2208565225
x39=32410.5069847427x_{39} = 32410.5069847427
x40=−38212.2974354065x_{40} = -38212.2974354065
x41=27325.1350142595x_{41} = 27325.1350142595
x42=−28041.4648541161x_{42} = -28041.4648541161
x43=−32279.2794423922x_{43} = -32279.2794423922
x44=21392.3554347137x_{44} = 21392.3554347137
x45=−33126.8487587679x_{45} = -33126.8487587679
x46=−27193.9097461941x_{46} = -27193.9097461941
x47=−21261.135176979x_{47} = -21261.135176979
x48=−23803.7247300519x_{48} = -23803.7247300519
x49=35800.7952924122x_{49} = 35800.7952924122
x50=−14481.2873067429x_{50} = -14481.2873067429
x51=−15328.7196680046x_{51} = -15328.7196680046
x52=22239.8804787742x_{52} = 22239.8804787742
x53=41733.8504719762x_{53} = 41733.8504719762
x54=−40755.0384320226x_{54} = -40755.0384320226
x55=14612.4925008121x_{55} = 14612.4925008121
x56=24782.4884954453x_{56} = 24782.4884954453
x57=−13633.8767787572x_{57} = -13633.8767787572
x58=36648.3711176498x_{58} = 36648.3711176498
x59=26477.5825889113x_{59} = 26477.5825889113
x60=−17023.6366209311x_{60} = -17023.6366209311
x61=19697.3260971377x_{61} = 19697.3260971377
x62=−30584.1466713136x_{62} = -30584.1466713136
x63=−24651.2649324947x_{63} = -24651.2649324947
x64=20544.8370180755x_{64} = 20544.8370180755
x65=−22956.1893162643x_{65} = -22956.1893162643
x66=−29736.5835540329x_{66} = -29736.5835540329
x67=40038.6865345901x_{67} = 40038.6865345901
x68=17154.8496093912x_{68} = 17154.8496093912
x69=−20413.6178571567x_{69} = -20413.6178571567
x70=−33974.4198323863x_{70} = -33974.4198323863
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−8(4x2+1)2−2x2(4x2+1)+atan⁡(2x)x3))=−163\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{16}{3}
lim⁡x→0+(2(−8(4x2+1)2−2x2(4x2+1)+atan⁡(2x)x3))=−163\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \frac{8}{\left(4 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x^{2} \left(4 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)\right) = - \frac{16}{3}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(atan⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(2*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(2x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(2x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(2x)x=atan⁡(2x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}
- No
atan⁡(2x)x=−atan⁡(2x)x\frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = atan(2*x)/x
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