Sr Examen

Otras calculadoras

(x(x-1))/(x-3)^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • (x+5)^2-9 (x+5)^2-9
  • x^(7/2)-3 x^(7/2)-3
  • x^3/ x^3/
  • x^4-3*x^2+4 x^4-3*x^2+4

  • Expresiones idénticas

  • (x(x- uno))/(x- tres)^ dos
  • (x(x menos 1)) dividir por (x menos 3) al cuadrado
  • (x(x menos uno)) dividir por (x menos tres) en el grado dos
  • (x(x-1))/(x-3)2
  • xx-1/x-32
  • (x(x-1))/(x-3)²
  • (x(x-1))/(x-3) en el grado 2
  • xx-1/x-3^2
  • (x(x-1)) dividir por (x-3)^2

  • Expresiones semejantes

  • (x(x+1))/(x-3)^2
  • (x(x-1))/(x+3)^2
Trazado el gráfico de la función/ (x(x-1))/(x-3)^2

Gráfico de la función y = (x(x-1))/(x-3)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x*(x - 1)
f(x) = ---------
               2
        (x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}$$ 
f = (x*(x - 1))/(x - 3)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x - 1))/(x - 3)^2.
$$\frac{\left(-1\right) 0}{\left(-3\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(6 - 2 x\right) \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{2 x - 1}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(3/5, -1/24)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{5}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 1 - \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{5}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 3$$

$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 1 - \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(\frac{3 x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} + 1 - \frac{2 \left(2 x - 1\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{5}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 1))/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = - \frac{x \left(- x - 1\right)}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{x \left(x - 1\right)}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{x \left(- x - 1\right)}{\left(- x - 3\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x(x-1))/(x-3)^2
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