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y=x³-12x+2
Trazado el gráfico de la función/ y=x³-12x+2

Gráfico de la función y = y=x³-12x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3           
f(x) = x  - 12*x + 2
f(x)=(x3−12x)+2f{\left(x \right)} = \left(x^{3} - 12 x\right) + 2 
f = x^3 - 12*x + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x3−12x)+2=0\left(x^{3} - 12 x\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−27+817i33−1227+817i3x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 + 81 \sqrt{7} i}}{3} - \frac{12}{\sqrt[3]{27 + 81 \sqrt{7} i}}
Solución numérica
x1=−3.54460681531615x_{1} = -3.54460681531615
x2=0.167055173393129x_{2} = 0.167055173393129
x3=3.37755164192302x_{3} = 3.37755164192302
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 12*x + 2.
(03−0)+2\left(0^{3} - 0\right) + 2
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−12=03 x^{2} - 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(-2, 18)

(2, -14)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[2,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,2]\left[-2, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6x=06 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x3−12x)+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{3} - 12 x\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−12x)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{3} - 12 x\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 12*x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x3−12x)+2x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 12 x\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x3−12x)+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - 12 x\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x3−12x)+2=−x3+12x+2\left(x^{3} - 12 x\right) + 2 = - x^{3} + 12 x + 2
- No
(x3−12x)+2=x3−12x−2\left(x^{3} - 12 x\right) + 2 = x^{3} - 12 x - 2
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x³-12x+2
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