Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
x/(1-x^3)
-
Expresiones idénticas
- (tres -x)/((x+ tres)*(x- uno)^ dos)
- (3 menos x) dividir por ((x más 3) multiplicar por (x menos 1) al cuadrado )
- (tres menos x) dividir por ((x más tres) multiplicar por (x menos uno) en el grado dos)
- (3-x)/((x+3)*(x-1)2)
- 3-x/x+3*x-12
- (3-x)/((x+3)*(x-1)²)
- (3-x)/((x+3)*(x-1) en el grado 2)
- (3-x)/((x+3)(x-1)^2)
- (3-x)/((x+3)(x-1)2)
- 3-x/x+3x-12
- 3-x/x+3x-1^2
- (3-x) dividir por ((x+3)*(x-1)^2)
-
Expresiones semejantes
- (3-x)/((x+3)*(x+1)^2)
- (3-x)/((x-3)*(x-1)^2)
- (3+x)/((x+3)*(x-1)^2)
Gráfico de la función y = (3-x)/((x+3)*(x-1)^2)
Solución
Ha introducido
[src]
3 - x
f(x) = ----------------
2
(x + 3)*(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}$$
f = (3 - x)/(((x - 1)^2*(x + 3)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - x\right) \left(- \left(x - 1\right)^{2} - \left(x + 3\right) \left(2 x - 2\right)\right)}{\left(x - 1\right)^{4} \left(x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(3 - x\right) \left(- \left(x - 1\right)^{2} - \left(x + 3\right) \left(2 x - 2\right)\right)}{\left(x - 1\right)^{4} \left(x + 3\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
____
3 \/ 33
____ - + ------
3 \/ 33 2 2
(- - ------, --------------------------)
2 2 2
/ ____\ / ____\
|1 \/ 33 | |9 \/ 33 |
|- - ------| *|- - ------|
\2 2 / \2 2 / ____
3 \/ 33
____ - - ------
3 \/ 33 2 2
(- + ------, --------------------------)
2 2 2
/ ____\ / ____\
|1 \/ 33 | |9 \/ 33 |
|- + ------| *|- + ------|
\2 2 / \2 2 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{33}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{33}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{6 x - \left(x - 3\right) \left(\left(3 x + 5\right) \left(\frac{1}{x + 3} + \frac{2}{x - 1}\right) + \frac{3 x + 5}{x + 3} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)}{x - 1} + \frac{2 \left(3 x + 5\right)}{x - 1}\right) + 10}{\left(x - 1\right)^{3} \left(x + 3\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 + \frac{16}{3 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}} + \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{33}}{9} + 16}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3 - x)/(((x + 3)*(x - 1)^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} \left(3 - x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} \left(3 - x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} \left(3 - x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} \left(3 - x\right)}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = \frac{x + 3}{\left(3 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = - \frac{x + 3}{\left(3 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = \frac{x + 3}{\left(3 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{3 - x}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 3\right)} = - \frac{x + 3}{\left(3 - x\right) \left(- x - 1\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar