Sr Examen

Gráfico de la función y = x^2(x-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        2        
f(x) = x *(x - 2)
f(x)=x2(x2)f{\left(x \right)} = x^{2} \left(x - 2\right)
f = x^2*(x - 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(x2)=0x^{2} \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*(x - 2).
(2)02\left(-2\right) 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x2+2x(x2)=0x^{2} + 2 x \left(x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

      -32  
(4/3, ----)
       27  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(,0][43,)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{4}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,43]\left[0, \frac{4}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x2)=02 \left(3 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[23,)\left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(,23]\left(-\infty, \frac{2}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
limx(x2(x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x - 2\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
limx(x2(x2))=\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
limx(x(x2))=\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
limx(x(x2))=\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(x2)=x2(x2)x^{2} \left(x - 2\right) = x^{2} \left(- x - 2\right)
- No
x2(x2)=x2(x2)x^{2} \left(x - 2\right) = - x^{2} \left(- x - 2\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2(x-2)