Sr Examen

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y=sqrt((5x-3)*25x^2-30x+6)
Trazado el gráfico de la función/ y=sqrt((5x-3)*25x^2-30x+6)

Gráfico de la función y = y=sqrt((5x-3)*25x^2-30x+6)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____________________________
         /               2            
f(x) = \/  (5*x - 3)*25*x  - 30*x + 6
f(x)=(x2⋅25(5x−3)−30x)+6f{\left(x \right)} = \sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} 
f = sqrt(x^2*(25*(5*x - 3)) - 30*x + 6)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=0\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=15−−27125+2726i12533−925−27125+2726i1253x_{1} = \frac{1}{5} - \frac{\sqrt[3]{- \frac{27}{125} + \frac{27 \sqrt{26} i}{125}}}{3} - \frac{9}{25 \sqrt[3]{- \frac{27}{125} + \frac{27 \sqrt{26} i}{125}}}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(((5*x - 3)*25)*x^2 - 30*x + 6).
(02⋅25(−3+0⋅5)−0)+6\sqrt{\left(0^{2} \cdot 25 \left(-3 + 0 \cdot 5\right) - 0\right) + 6}
Resultado:
f(0)=6f{\left(0 \right)} = \sqrt{6}
Punto:
(0, sqrt(6))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
125x22+25x(5x−3)−15(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=0\frac{\frac{125 x^{2}}{2} + 25 x \left(5 x - 3\right) - 15}{\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=15−35x_{1} = \frac{1}{5} - \frac{\sqrt{3}}{5}
x2=15+35x_{2} = \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5}
Signos de extremos en los puntos:
                  _________________________________________ 
                 /                      2                   
       ___      /            /      ___\                    
 1   \/ 3      /       ___   |1   \/ 3 |  /           ___\  
(- - -----,   /    6*\/ 3  + |- - -----| *\-50 - 25*\/ 3 / )
 5     5    \/               \5     5  /                    

                  ___________________________________________ 
                 /                        2                   
       ___      /              /      ___\                    
 1   \/ 3      /         ___   |1   \/ 3 |  /           ___\  
(- + -----,   /    - 6*\/ 3  + |- + -----| *\-50 + 25*\/ 3 / )
 5     5    \/                 \5     5  /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=15−35x_{2} = \frac{1}{5} - \frac{\sqrt{3}}{5}
Decrece en los intervalos
(−∞,15−35]\left(-\infty, \frac{1}{5} - \frac{\sqrt{3}}{5}\right]
Crece en los intervalos
[15−35,∞)\left[\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{3}}{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
25(15x−3−(25x2+10x(5x−3)−6)24(5x(5x(5x−3)−6)+6))5x(5x(5x−3)−6)+6=0\frac{25 \left(15 x - 3 - \frac{\left(25 x^{2} + 10 x \left(5 x - 3\right) - 6\right)^{2}}{4 \left(5 x \left(5 x \left(5 x - 3\right) - 6\right) + 6\right)}\right)}{\sqrt{5 x \left(5 x \left(5 x - 3\right) - 6\right) + 6}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1225−4263252+15+426325+2425+161251225−4263252x_{1} = \frac{\sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}{2} + \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{26}}{25} + \frac{24}{25} + \frac{16}{125 \sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}}}{2}
x2=−426325+2425+161251225−4263252+1225−4263252+15x_{2} = - \frac{\sqrt{\frac{4 \sqrt[3]{26}}{25} + \frac{24}{25} + \frac{16}{125 \sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}{2} + \frac{1}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1225−4263252+15+∣426325+2425+161251225−426325∣2,∞)\left[\frac{\sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}{2} + \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{\left|{\frac{4 \sqrt[3]{26}}{25} + \frac{24}{25} + \frac{16}{125 \sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}}\right|}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1225−4263252+15+∣426325+2425+161251225−426325∣2]\left(-\infty, \frac{\sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}{2} + \frac{1}{5} + \frac{\sqrt{\left|{\frac{4 \sqrt[3]{26}}{25} + \frac{24}{25} + \frac{16}{125 \sqrt{\frac{12}{25} - \frac{4 \sqrt[3]{26}}{25}}}}\right|}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=∞i\lim_{x \to -\infty} \sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=∞\lim_{x \to \infty} \sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(((5*x - 3)*25)*x^2 - 30*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2⋅25(5x−3)−30x)+6x)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6}}{x}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2⋅25(5x−3)−30x)+6x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=x2(−125x−75)+30x+6\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} = \sqrt{x^{2} \left(- 125 x - 75\right) + 30 x + 6}
- No
(x2⋅25(5x−3)−30x)+6=−x2(−125x−75)+30x+6\sqrt{\left(x^{2} \cdot 25 \left(5 x - 3\right) - 30 x\right) + 6} = - \sqrt{x^{2} \left(- 125 x - 75\right) + 30 x + 6}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=sqrt((5x-3)*25x^2-30x+6)
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