Sr Examen

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Gráfico de la función y = arctd(x)+((x/4)+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                        2
                 /x    \ 
f(x) = atan(x) + |- + 1| 
                 \4    / 
$$f{\left(x \right)} = \left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
f = (x/4 + 1)^2 + atan(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
$$x_{1} = -8.82994970291873$$
$$x_{2} = -0.766009217148369$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x) + (x/4 + 1)^2.
$$\operatorname{atan}{\left(0 \right)} + \left(\frac{0}{4} + 1\right)^{2}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{13}{3 \sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                          2                                                           
                                   _________________  /                                 _________________\        /       _________________                         \ 
                                3 /             ___   |                              3 /             ___ |        |    3 /             ___                          | 
   4             13             \/  208 + 117*\/ 3    |2              13             \/  208 + 117*\/ 3  |        |4   \/  208 + 117*\/ 3               13          | 
(- - - ---------------------- - --------------------, |- - ----------------------- - --------------------|  - atan|- + -------------------- + ----------------------|)
   3        _________________            3            |3         _________________            12         |        |3            3                  _________________| 
         3 /             ___                          |       3 /             ___                        |        |                             3 /             ___ | 
       3*\/  208 + 117*\/ 3                           \    12*\/  208 + 117*\/ 3                         /        \                           3*\/  208 + 117*\/ 3  / 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{13}{3 \sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{13}{3 \sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}{3} - \frac{4}{3} - \frac{13}{3 \sqrt[3]{117 \sqrt{3} + 208}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{1}{8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}, \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}} - \frac{8}{3} - \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + \frac{32}{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}}}{2} + \frac{\sqrt{- \frac{4}{3} + \frac{8}{9 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}} + 2 \sqrt[3]{\frac{16 \sqrt{78}}{9} + \frac{424}{27}}}}{2}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x) + (x/4 + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = \left(1 - \frac{x}{4}\right)^{2} - \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
- No
$$\left(\frac{x}{4} + 1\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)} = - \left(1 - \frac{x}{4}\right)^{2} + \operatorname{atan}{\left(x \right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar