Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)

Gráfico de la función y = ((-4+3*x)/(2+3*x))^(1/3+x/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                 1   x
                 - + -
                 3   3
       /-4 + 3*x\     
f(x) = |--------|     
       \2 + 3*x /
f(x)=(3x−43x+2)x3+13f{\left(x \right)} = \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} 
f = ((3*x - 4)/(3*x + 2))^(x/3 + 1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x−43x+2)x3+13=0\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
Solución numérica
x1=1.33333333333333x_{1} = 1.33333333333333
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((-4 + 3*x)/(2 + 3*x))^(1/3 + x/3).
(−4+0⋅30⋅3+2)03+13\left(\frac{-4 + 0 \cdot 3}{0 \cdot 3 + 2}\right)^{\frac{0}{3} + \frac{1}{3}}
Resultado:
f(0)=−23f{\left(0 \right)} = \sqrt[3]{-2}
Punto:
(0, (-2)^(1/3))
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(3x−43x+2)x3+13((−3(x+1)(3x−43x+2−1)3x−4+log⁡(3x−43x+2))29+(3x−43x+2−1)(3(x+1)3x+2+3(x+1)3x−4−2)3x−4)=0\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} \left(\frac{\left(- \frac{3 \left(x + 1\right) \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right)}{3 x - 4} + \log{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} \right)}\right)^{2}}{9} + \frac{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x + 2} + \frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x - 4} - 2\right)}{3 x - 4}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=30517.9446330886x_{1} = 30517.9446330886
x2=−37285.4926525597x_{2} = -37285.4926525597
x3=18649.7578984614x_{3} = 18649.7578984614
x4=22888.6024687923x_{4} = 22888.6024687923
x5=−28808.8050982197x_{5} = -28808.8050982197
x6=−30504.1712112917x_{6} = -30504.1712112917
x7=11018.2281095598x_{7} = 11018.2281095598
x8=−27113.4193361505x_{8} = -27113.4193361505
x9=34756.2961246017x_{9} = 34756.2961246017
x10=13562.4605166682x_{10} = 13562.4605166682
x11=−12700.7427658044x_{11} = -12700.7427658044
x12=−42371.3815366976x_{12} = -42371.3815366976
x13=20345.3370790294x_{13} = 20345.3370790294
x14=17801.9416935072x_{14} = 17801.9416935072
x15=−16092.5063809077x_{15} = -16092.5063809077
x16=−10156.3349647435x_{16} = -10156.3349647435
x17=33060.9657183201x_{17} = 33060.9657183201
x18=−31351.8478927754x_{18} = -31351.8478927754
x19=27974.8855420792x_{19} = 27974.8855420792
x20=−26265.7179017047x_{20} = -26265.7179017047
x21=35603.9569622778x_{21} = 35603.9569622778
x22=−14396.7033937475x_{22} = -14396.7033937475
x23=−40676.0925463729x_{23} = -40676.0925463729
x24=25431.7770032619x_{24} = 25431.7770032619
x25=−32199.5207705403x_{25} = -32199.5207705403
x26=36451.6151610286x_{26} = 36451.6151610286
x27=14410.4259024104x_{27} = 14410.4259024104
x28=−18636.0089821058x_{28} = -18636.0089821058
x29=−25418.0100069264x_{29} = -25418.0100069264
x30=41537.5180030709x_{30} = 41537.5180030709
x31=16954.1041771198x_{31} = 16954.1041771198
x32=21193.1043317579x_{32} = 21193.1043317579
x33=−19483.8033407831x_{33} = -19483.8033407831
x34=42385.1619902458x_{34} = 42385.1619902458
x35=26279.4862329405x_{35} = 26279.4862329405
x36=−16940.3634777432x_{36} = -16940.3634777432
x37=−9308.00710100669x_{37} = -9308.00710100669
x38=−38133.1456688897x_{38} = -38133.1456688897
x39=40689.8723560778x_{39} = 40689.8723560778
x40=12714.4466197635x_{40} = 12714.4466197635
x41=11866.3737298461x_{41} = 11866.3737298461
x42=−11852.6823445696x_{42} = -11852.6823445696
x43=−22027.0989664371x_{43} = -22027.0989664371
x44=−22874.8404058495x_{44} = -22874.8404058495
x45=−21179.3465899388x_{45} = -21179.3465899388
x46=−17788.1965921851x_{46} = -17788.1965921851
x47=−35590.1796666398x_{47} = -35590.1796666398
x48=29670.2629763527x_{48} = 29670.2629763527
x49=38994.5756486669x_{49} = 38994.5756486669
x50=16106.2419645314x_{50} = 16106.2419645314
x51=−20331.581914141x_{51} = -20331.581914141
x52=37299.2709012074x_{52} = 37299.2709012074
x53=−27961.1148959909x_{53} = -27961.1148959909
x54=28822.5767515534x_{54} = 28822.5767515534
x55=32213.2956889251x_{55} = 32213.2956889251
x56=−24570.2949855381x_{56} = -24570.2949855381
x57=−11004.5521852571x_{57} = -11004.5521852571
x58=33908.6324495639x_{58} = 33908.6324495639
x59=27127.1888790662x_{59} = 27127.1888790662
x60=19497.5555851572x_{60} = 19497.5555851572
x61=31365.6220932022x_{61} = 31365.6220932022
x62=38146.9243470982x_{62} = 38146.9243470982
x63=22040.8589934638x_{63} = 22040.8589934638
x64=−29656.4904008921x_{64} = -29656.4904008921
x65=−34742.5193586183x_{65} = -34742.5193586183
x66=−38980.796568611x_{66} = -38980.796568611
x67=23736.3359609267x_{67} = 23736.3359609267
x68=−23722.5720763716x_{68} = -23722.5720763716
x69=−41523.7378615896x_{69} = -41523.7378615896
x70=−33894.8562534618x_{70} = -33894.8562534618
x71=−39828.4454865638x_{71} = -39828.4454865638
x72=−36437.8373722636x_{72} = -36437.8373722636
x73=−13548.7464609564x_{73} = -13548.7464609564
x74=−15244.6213230503x_{74} = -15244.6213230503
x75=24584.0605064594x_{75} = 24584.0605064594
x76=15258.3509139647x_{76} = 15258.3509139647
x77=−33047.1901365053x_{77} = -33047.1901365053
x78=10169.9913950791x_{78} = 10169.9913950791
x79=9321.63846816823x_{79} = 9321.63846816823
x80=39842.2249430875x_{80} = 39842.2249430875
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667

lim⁡x→−0.666666666666667−((3x−43x+2)x3+13((−3(x+1)(3x−43x+2−1)3x−4+log⁡(3x−43x+2))29+(3x−43x+2−1)(3(x+1)3x+2+3(x+1)3x−4−2)3x−4))=∞\lim_{x \to -0.666666666666667^-}\left(\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} \left(\frac{\left(- \frac{3 \left(x + 1\right) \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right)}{3 x - 4} + \log{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} \right)}\right)^{2}}{9} + \frac{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x + 2} + \frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x - 4} - 2\right)}{3 x - 4}\right)\right) = \infty
lim⁡x→−0.666666666666667+((3x−43x+2)x3+13((−3(x+1)(3x−43x+2−1)3x−4+log⁡(3x−43x+2))29+(3x−43x+2−1)(3(x+1)3x+2+3(x+1)3x−4−2)3x−4))=∞(0.939692620785908+0.342020143325669i)\lim_{x \to -0.666666666666667^+}\left(\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} \left(\frac{\left(- \frac{3 \left(x + 1\right) \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right)}{3 x - 4} + \log{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} \right)}\right)^{2}}{9} + \frac{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2} - 1\right) \left(\frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x + 2} + \frac{3 \left(x + 1\right)}{3 x - 4} - 2\right)}{3 x - 4}\right)\right) = \infty \left(0.939692620785908 + 0.342020143325669 i\right)
- los límites no son iguales, signo
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[40689.8723560778,∞)\left[40689.8723560778, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−40676.0925463729]\left(-\infty, -40676.0925463729\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−0.666666666666667x_{1} = -0.666666666666667
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3x−43x+2)x3+13=e−23\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=e−23y = e^{- \frac{2}{3}}
lim⁡x→∞(3x−43x+2)x3+13=e−23\lim_{x \to \infty} \left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = e^{- \frac{2}{3}}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=e−23y = e^{- \frac{2}{3}}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-4 + 3*x)/(2 + 3*x))^(1/3 + x/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x−43x+2)x3+13x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((3x−43x+2)x3+13x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x−43x+2)x3+13=(−3x−42−3x)13−x3\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = \left(\frac{- 3 x - 4}{2 - 3 x}\right)^{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}
- No
(3x−43x+2)x3+13=−(−3x−42−3x)13−x3\left(\frac{3 x - 4}{3 x + 2}\right)^{\frac{x}{3} + \frac{1}{3}} = - \left(\frac{- 3 x - 4}{2 - 3 x}\right)^{\frac{1}{3} - \frac{x}{3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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