Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • (x-1)/(x+2) (x-1)/(x+2)
  • Factorizar el polinomio:
  • 4^x-3*2^x+2

  • Expresiones idénticas

  • cuatro ^x- tres * dos ^x+ dos
  • 4 en el grado x menos 3 multiplicar por 2 en el grado x más 2
  • cuatro en el grado x menos tres multiplicar por dos en el grado x más dos
  • 4x-3*2x+2
  • 4^x-32^x+2
  • 4x-32x+2

  • Expresiones semejantes

  • 4^x-3*2^x-2
  • 4^x+3*2^x+2
Trazado el gráfico de la función/ 4^x-3*2^x+2

Gráfico de la función y = 4^x-3*2^x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x      x    
f(x) = 4  - 3*2  + 2
f(x)=(−3⋅2x+4x)+2f{\left(x \right)} = \left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2 
f = -3*2^x + 4^x + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102000000-1000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3⋅2x+4x)+2=0\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4^x - 3*2^x + 2.
(−3⋅20+40)+2\left(- 3 \cdot 2^{0} + 4^{0}\right) + 2
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3⋅2xlog⁡(2)+4xlog⁡(4)=0- 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)} + 4^{x} \log{\left(4 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1+log⁡(3)log⁡(2)x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
                        log(3)           log(3) 
                   -1 + ------      -1 + ------ 
      log(3)            log(2)           log(2) 
(-1 + ------, 2 + 4            - 3*2           )
      log(2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−1+log⁡(3)log⁡(2)x_{1} = -1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−1+log⁡(3)log⁡(2),∞)\left[-1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−1+log⁡(3)log⁡(2)]\left(-\infty, -1 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3⋅2xlog⁡(2)2+4xlog⁡(4)2=0- 3 \cdot 2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 4^{x} \log{\left(4 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2+log⁡(3)log⁡(2)x_{1} = -2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2+log⁡(3)log⁡(2),∞)\left[-2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2+log⁡(3)log⁡(2)]\left(-\infty, -2 + \frac{\log{\left(3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3⋅2x+4x)+2)=2\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=2y = 2
lim⁡x→∞((−3⋅2x+4x)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4^x - 3*2^x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3⋅2x+4x)+2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((−3⋅2x+4x)+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3⋅2x+4x)+2=2+4−x−3⋅2−x\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2 = 2 + 4^{- x} - 3 \cdot 2^{- x}
- No
(−3⋅2x+4x)+2=−2−4−x+3⋅2−x\left(- 3 \cdot 2^{x} + 4^{x}\right) + 2 = -2 - 4^{- x} + 3 \cdot 2^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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