Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- (dos *x- dos)/(x^ dos - cinco *x+ seis)
- (2 multiplicar por x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 5 multiplicar por x más 6)
- (dos multiplicar por x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos cinco multiplicar por x más seis)
- (2*x-2)/(x2-5*x+6)
- 2*x-2/x2-5*x+6
- (2*x-2)/(x²-5*x+6)
- (2*x-2)/(x en el grado 2-5*x+6)
- (2x-2)/(x^2-5x+6)
- (2x-2)/(x2-5x+6)
- 2x-2/x2-5x+6
- 2x-2/x^2-5x+6
- (2*x-2) dividir por (x^2-5*x+6)
-
Expresiones semejantes
- (2*x-2)/(x^2-5*x-6)
- (2*x+2)/(x^2-5*x+6)
- (2*x-2)/(x^2+5*x+6)
Gráfico de la función y = (2*x-2)/(x^2-5*x+6)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x - 2
f(x) = ------------
2
x - 5*x + 6
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}$$
f = (2*x - 2)/(x^2 - 5*x + 6)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(5 - 2 x\right) \left(2 x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(5 - 2 x\right) \left(2 x - 2\right)}{\left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -2*\/ 2
(1 - \/ 2, --------------------------)
2
/ ___\ ___
1 + \1 - \/ 2 / + 5*\/ 2 ___
___ 2*\/ 2
(1 + \/ 2, --------------------------)
2
/ ___\ ___
1 + \1 + \/ 2 / - 5*\/ 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{2}\right] \cup \left[1 + \sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{4 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{\left(2 x - 5\right)^{2}}{x^{2} - 5 x + 6} - 1\right) + 5\right)}{\left(x^{2} - 5 x + 6\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} + 1\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x - 2)/(x^2 - 5*x + 6), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 2}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x - 2}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x - 2}{x \left(\left(x^{2} - 5 x\right) + 6\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = \frac{- 2 x - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = - \frac{- 2 x - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = \frac{- 2 x - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
$$\frac{2 x - 2}{\left(x^{2} - 5 x\right) + 6} = - \frac{- 2 x - 2}{x^{2} + 5 x + 6}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico