Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)(x- tres /x- uno)^- uno
- (x menos 3)(x menos 3 dividir por x menos 1) en el grado menos 1
- (x menos tres)(x menos tres dividir por x menos uno) en el grado menos uno
- (x-3)(x-3/x-1)-1
- x-3x-3/x-1-1
- x-3x-3/x-1^-1
- (x-3)(x-3 dividir por x-1)^-1
-
Expresiones semejantes
- (x-3)(x+3/x-1)^-1
- (x-3)(x-3/x+1)^-1
- (x-3)(x-3/x-1)^+1
- (x+3)(x-3/x-1)^-1
Gráfico de la función y = (x-3)(x-3/x-1)^-1
Solución
Ha introducido
[src]
x - 3
f(x) = ---------
3
x - - - 1
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1}$$
f = (x - 3)/(x - 3/x - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(-1 - \frac{3}{x^{2}}\right) \left(x - 3\right)}{\left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(-1 - \frac{3}{x^{2}}\right) \left(x - 3\right)}{\left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
$$\lim_{x \to -1.30277563773199^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1.30277563773199^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = - \frac{4}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = - \frac{4}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.30277563773199^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -5.55136069465338 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 2.30277563773199^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -5.55136069465338 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
$$\lim_{x \to -1.30277563773199^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -1.30277563773199^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = - \frac{4}{3}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = - \frac{4}{3}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.30277563773199^-}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -5.55136069465338 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 2.30277563773199^+}\left(- \frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{\left(1 + \frac{3}{x^{2}}\right)^{2}}{- x + 1 + \frac{3}{x}} - \frac{3}{x^{3}}\right) + 1 + \frac{3}{x^{2}}\right)}{\left(- x + 1 + \frac{3}{x}\right)^{2}}\right) = -5.55136069465338 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}}{3} + \frac{27}{4 \sqrt[3]{\frac{243}{4} + \frac{243 \sqrt{13}}{8}}} + \frac{3}{2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
$$x_{1} = -1.30277563773199$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.30277563773199$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)/(x - 3/x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = \frac{- x - 3}{- x - 1 + \frac{3}{x}}$$
- No
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = - \frac{- x - 3}{- x - 1 + \frac{3}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = \frac{- x - 3}{- x - 1 + \frac{3}{x}}$$
- No
$$\frac{x - 3}{\left(x - \frac{3}{x}\right) - 1} = - \frac{- x - 3}{- x - 1 + \frac{3}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar