Sr Examen

Gráfico de la función y = x/e-(1/ln(x))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x     1   
f(x) = - - ------
       E   log(x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}$$
f = x/E - 1/log(x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = e$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2.71828182845905$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/E - 1/log(x).
$$\frac{0}{e} - \frac{1}{\log{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{1}{e} + \frac{1}{x \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e^{-2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{1 + \frac{2}{\log{\left(x \right)}}}{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[e^{-2}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, e^{-2}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/E - 1/log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = \frac{x}{e}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}}}{x}\right) = e^{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{e}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = - \frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
$$\frac{x}{e} - \frac{1}{\log{\left(x \right)}} = \frac{x}{e} + \frac{1}{\log{\left(- x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar