Sr Examen

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(x-2)^2*(x-4)+5
Trazado el gráfico de la función/ (x-2)^2*(x-4)+5

Gráfico de la función y = (x-2)^2*(x-4)+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2            
f(x) = (x - 2) *(x - 4) + 5
f(x)=(x−4)(x−2)2+5f{\left(x \right)} = \left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5 
f = (x - 4)*(x - 2)^2 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−4)(x−2)2+5=0\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−315452+119233−43315452+11923+83x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{1545}}{2} + \frac{119}{2}}}{3} - \frac{4}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{1545}}{2} + \frac{119}{2}}} + \frac{8}{3}
Solución numérica
x1=0.75810343696552x_{1} = 0.75810343696552
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 2)^2*(x - 4) + 5.
5+(−4)(−2)25 + \left(-4\right) \left(-2\right)^{2}
Resultado:
f(0)=−11f{\left(0 \right)} = -11
Punto:
(0, -11)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x−4)(2x−4)+(x−2)2=0\left(x - 4\right) \left(2 x - 4\right) + \left(x - 2\right)^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=103x_{2} = \frac{10}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(2, 5)

       103 
(10/3, ---)
        27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=103x_{1} = \frac{10}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Decrece en los intervalos
(−∞,2]∪[103,∞)\left(-\infty, 2\right] \cup \left[\frac{10}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[2,103]\left[2, \frac{10}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x−8)=02 \left(3 x - 8\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=83x_{1} = \frac{8}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[83,∞)\left[\frac{8}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,83]\left(-\infty, \frac{8}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−4)(x−2)2+5)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−4)(x−2)2+5)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 2)^2*(x - 4) + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−4)(x−2)2+5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x−4)(x−2)2+5x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−4)(x−2)2+5=(−x−4)(−x−2)2+5\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5 = \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)^{2} + 5
- No
(x−4)(x−2)2+5=−(−x−4)(−x−2)2−5\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)^{2} + 5 = - \left(- x - 4\right) \left(- x - 2\right)^{2} - 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-2)^2*(x-4)+5
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