Sr Examen

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x/sqrt(x^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ x/sqrt(x^2-1)

Gráfico de la función y = x/sqrt(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            x     
f(x) = -----------
          ________
         /  2     
       \/  x  - 1
f(x)=xx2−1f{\left(x \right)} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} 
f = x/sqrt(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xx2−1=0\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/sqrt(x^2 - 1).
0−1+02\frac{0}{\sqrt{-1 + 0^{2}}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(x2−1)32+1x2−1=0- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(3x2x2−1−3)(x2−1)32=0\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(x(3x2x2−1−3)(x2−1)32)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(x(3x2x2−1−3)(x2−1)32)=∞i\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty i
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(x(3x2x2−1−3)(x2−1)32)=−∞i\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i
lim⁡x→1+(x(3x2x2−1−3)(x2−1)32)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x \left(\frac{3 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xx2−1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(xx2−1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/sqrt(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1x2−1=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1x2−1=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xx2−1=−xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = - \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}
- No
xx2−1=xx2−1\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/sqrt(x^2-1)
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