Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- y=x^ dos + dos /(uno -x)(x- dos)
- y es igual a x al cuadrado más 2 dividir por (1 menos x)(x menos 2)
- y es igual a x en el grado dos más dos dividir por (uno menos x)(x menos dos)
- y=x2+2/(1-x)(x-2)
- y=x2+2/1-xx-2
- y=x²+2/(1-x)(x-2)
- y=x en el grado 2+2/(1-x)(x-2)
- y=x^2+2/1-xx-2
- y=x^2+2 dividir por (1-x)(x-2)
-
Expresiones semejantes
- y=x^2+2/(1+x)(x-2)
- y=x^2-2/(1-x)(x-2)
- y=x^2+2/(1-x)(x+2)
Gráfico de la función y = y=x^2+2/(1-x)(x-2)
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
f(x) = x + -----*(x - 2)
1 - x
$$f{\left(x \right)} = x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)$$
f = x^2 + (2/(1 - x))*(x - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{177} + 44}}{3} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{177} + 44}} + \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.65896708191699$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{3 \sqrt{177} + 44}}{3} - \frac{7}{3 \sqrt[3]{3 \sqrt{177} + 44}} + \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.65896708191699$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{2}{1 - x} + \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + \frac{2}{1 - x} + \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(1 - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _____________ \
| / ____ |
| 4 / 25 \/ 69 1 |
2*|- - + 3 / -- + ------ + --------------------|
| 3 \/ 54 18 _____________|
2 | / ____ |
_____________ / _____________ \ | / 25 \/ 69 |
/ ____ | / ____ | | 9*3 / -- + ------ |
2 / 25 \/ 69 1 |2 / 25 \/ 69 1 | \ \/ 54 18 /
(- + 3 / -- + ------ + --------------------, |- + 3 / -- + ------ + --------------------| + ---------------------------------------------------)
3 \/ 54 18 _____________ |3 \/ 54 18 _____________| _____________
/ ____ | / ____ | / ____
/ 25 \/ 69 | / 25 \/ 69 | 1 / 25 \/ 69 1
9*3 / -- + ------ | 9*3 / -- + ------ | - - 3 / -- + ------ - --------------------
\/ 54 18 \ \/ 54 18 / 3 \/ 54 18 _____________
/ ____
/ 25 \/ 69
9*3 / -- + ------
\/ 54 18 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{9 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}} + \frac{2}{3} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{25}{54}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} + 1 + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + (2/(1 - x))*(x - 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = x^{2} + \frac{2 \left(- x - 2\right)}{x + 1}$$
- No
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = - x^{2} - \frac{2 \left(- x - 2\right)}{x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = x^{2} + \frac{2 \left(- x - 2\right)}{x + 1}$$
- No
$$x^{2} + \frac{2}{1 - x} \left(x - 2\right) = - x^{2} - \frac{2 \left(- x - 2\right)}{x + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico