Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3-x
-
x^3/(x^2-1)
-
x^3-3*x
-
-x^2
-
Expresiones idénticas
- (x+ uno)(x^ dos + ocho *x+ quince)/x+ cinco
- (x más 1)(x al cuadrado más 8 multiplicar por x más 15) dividir por x más 5
- (x más uno)(x en el grado dos más ocho multiplicar por x más quince) dividir por x más cinco
- (x+1)(x2+8*x+15)/x+5
- x+1x2+8*x+15/x+5
- (x+1)(x²+8*x+15)/x+5
- (x+1)(x en el grado 2+8*x+15)/x+5
- (x+1)(x^2+8x+15)/x+5
- (x+1)(x2+8x+15)/x+5
- x+1x2+8x+15/x+5
- x+1x^2+8x+15/x+5
- (x+1)(x^2+8*x+15) dividir por x+5
-
Expresiones semejantes
- (x-1)(x^2+8*x+15)/x+5
- (x+1)(x^2+8*x+15)/x-5
- (x+1)(x^2-8*x+15)/x+5
- (x+1)(x^2+8*x-15)/x+5
Gráfico de la función y = (x+1)(x^2+8*x+15)/x+5
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
(x + 1)*\x + 8*x + 15/
f(x) = ----------------------- + 5
x
$$f{\left(x \right)} = 5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}$$
f = 5 + ((x + 1)*(x^2 + 8*x + 15))/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{18237}}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{18237}}{18}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.668805265271506$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -3 - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{18237}}{18}}} + \sqrt[3]{\frac{15}{2} + \frac{\sqrt{18237}}{18}}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.668805265271506$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} + 8 x + \left(x + 1\right) \left(2 x + 8\right) + 15}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{5} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{5} i}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{2} + 8 x + \left(x + 1\right) \left(2 x + 8\right) + 15}{x} - \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + \frac{9}{4 \sqrt[3]{\frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{5} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{5} i}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
/ _______________ \ | / _______________ \ _______________ |
| / ___ | | | / ___ | / ___ |
| 1 / 3 3*I*\/ 5 9 | | | 3 / 3 3*I*\/ 5 9 | / 3 3*I*\/ 5 18 |
|- - + 3 / - + --------- + ----------------------|*|3 + |- - + 3 / - + --------- + ----------------------| + 8*3 / - + --------- + --------------------|
| 2 \/ 8 2 _______________| | | 2 \/ 8 2 _______________| \/ 8 2 _______________|
| / ___ | | | / ___ | / ___ |
_______________ | / 3 3*I*\/ 5 | | | / 3 3*I*\/ 5 | / 3 3*I*\/ 5 |
/ ___ | 4*3 / - + --------- | | | 4*3 / - + --------- | 3 / - + --------- |
3 / 3 3*I*\/ 5 9 \ \/ 8 2 / \ \ \/ 8 2 / \/ 8 2 /
(- - + 3 / - + --------- + ----------------------, 5 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 \/ 8 2 _______________ _______________
/ ___ / ___
/ 3 3*I*\/ 5 3 / 3 3*I*\/ 5 9
4*3 / - + --------- - - + 3 / - + --------- + ----------------------
\/ 8 2 2 \/ 8 2 _______________
/ ___
/ 3 3*I*\/ 5
4*3 / - + ---------
\/ 8 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3}{2} + 3 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(4 \sqrt{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{15}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{15}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{15}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt[3]{15}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 x + 18 - \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right)}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 15}{x} - \frac{x^{2} + 8 x + 2 \left(x + 1\right) \left(x + 4\right) + 15}{x} + \frac{2 \left(x + 1\right) \left(x^{2} + 8 x + 15\right)}{x^{2}}}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt[3]{15}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \sqrt[3]{15}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 1)*(x^2 + 8*x + 15))/x + 5, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = 5 - \frac{\left(1 - x\right) \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}{x}$$
- No
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = -5 + \frac{\left(1 - x\right) \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = 5 - \frac{\left(1 - x\right) \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}{x}$$
- No
$$5 + \frac{\left(x + 1\right) \left(\left(x^{2} + 8 x\right) + 15\right)}{x} = -5 + \frac{\left(1 - x\right) \left(x^{2} - 8 x + 15\right)}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar