Sr Examen

Gráfico de la función y = y=(x+1)(x-3)/(x+2)(x-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       (x + 1)*(x - 3)        
f(x) = ---------------*(x - 4)
            x + 2             
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)$$
f = (((x - 3)*(x + 1))/(x + 2))*(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (((x + 1)*(x - 3))/(x + 2))*(x - 4).
$$\left(-4\right) \left(- \frac{3}{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 6$$
Punto:
(0, 6)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} + \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                              /         _______________                       \ /          _______________                       \ /          _______________                       \ 
                                              |        /         _____                        | |         /         _____                        | |         /         _____                        | 
                                              |       /  1   I*\/ 255              4          | |        /  1   I*\/ 255              4          | |        /  1   I*\/ 255              4          | 
                                              |1 + 3 /   - + ---------  + --------------------|*|-4 + 3 /   - + ---------  + --------------------|*|-3 + 3 /   - + ---------  + --------------------| 
                                              |    \/    2       2             _______________| |     \/    2       2             _______________| |     \/    2       2             _______________| 
                                              |                               /         _____ | |                                /         _____ | |                                /         _____ | 
      _______________                         |                              /  1   I*\/ 255  | |                               /  1   I*\/ 255  | |                               /  1   I*\/ 255  | 
     /         _____                          |                           3 /   - + --------- | |                            3 /   - + --------- | |                            3 /   - + --------- | 
    /  1   I*\/ 255              4            \                           \/    2       2     / \                            \/    2       2     / \                            \/    2       2     / 
(3 /   - + ---------  + --------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
 \/    2       2             _______________                                                               _______________                                                                            
                            /         _____                                                               /         _____                                                                             
                           /  1   I*\/ 255                                                               /  1   I*\/ 255              4                                                               
                        3 /   - + ---------                                                       2 + 3 /   - + ---------  + --------------------                                                     
                        \/    2       2                                                               \/    2       2             _______________                                                     
                                                                                                                                 /         _____                                                      
                                                                                                                                /  1   I*\/ 255                                                       
                                                                                                                             3 /   - + ---------                                                      
                                                                                                                             \/    2       2                                                          


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[3]{30}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[3]{30}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[3]{30}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 1)*(x - 3))/(x + 2))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=(x+1)(x-3)/(x+2)(x-4)