Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- y=(x+ uno)(x- tres)/(x+ dos)(x- cuatro)
- y es igual a (x más 1)(x menos 3) dividir por (x más 2)(x menos 4)
- y es igual a (x más uno)(x menos tres) dividir por (x más dos)(x menos cuatro)
- y=x+1x-3/x+2x-4
- y=(x+1)(x-3) dividir por (x+2)(x-4)
-
Expresiones semejantes
- y=(x+1)(x-3)/(x-2)(x-4)
- y=(x+1)(x+3)/(x+2)(x-4)
- y=((x+1)(x-3))/((x+2)(x-4))
- y=(x+1)*(x-3)/(x+2)*(x-4)
- y=(x+1)(x-3)/(x+2)(x+4)
- y=(x-1)(x-3)/(x+2)(x-4)
- y=(x+1)*(x-3)/(x+2)(x-4)
Gráfico de la función y = y=(x+1)(x-3)/(x+2)(x-4)
Solución
Ha introducido
[src]
(x + 1)*(x - 3)
f(x) = ---------------*(x - 4)
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)$$
f = (((x - 3)*(x + 1))/(x + 2))*(x - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} + \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} + \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + \frac{2 x - 2}{x + 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{\sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{255} i}{2}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ _______________ \ / _______________ \ / _______________ \
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
| / 1 I*\/ 255 4 | | / 1 I*\/ 255 4 | | / 1 I*\/ 255 4 |
|1 + 3 / - + --------- + --------------------|*|-4 + 3 / - + --------- + --------------------|*|-3 + 3 / - + --------- + --------------------|
| \/ 2 2 _______________| | \/ 2 2 _______________| | \/ 2 2 _______________|
| / _____ | | / _____ | | / _____ |
_______________ | / 1 I*\/ 255 | | / 1 I*\/ 255 | | / 1 I*\/ 255 |
/ _____ | 3 / - + --------- | | 3 / - + --------- | | 3 / - + --------- |
/ 1 I*\/ 255 4 \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 / \ \/ 2 2 /
(3 / - + --------- + --------------------, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
\/ 2 2 _______________ _______________
/ _____ / _____
/ 1 I*\/ 255 / 1 I*\/ 255 4
3 / - + --------- 2 + 3 / - + --------- + --------------------
\/ 2 2 \/ 2 2 _______________
/ _____
/ 1 I*\/ 255
3 / - + ---------
\/ 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{255} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[3]{30}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[3]{30}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[3]{30}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + \sqrt[3]{30}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \left(2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{2 \left(x - 1\right)}{x + 2} + 1\right) - \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} - 2\right)}{x + 2}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 + \sqrt[3]{30}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 + \sqrt[3]{30}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (((x + 1)*(x - 3))/(x + 2))*(x - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} \left(x - 4\right) = - \frac{\left(1 - x\right) \left(- x - 4\right) \left(- x - 3\right)}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico