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Trazado el gráfico de la función/ |x|(x+2)−10x

Gráfico de la función y = |x|(x+2)−10x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |x|*(x + 2) - 10*x
f(x)=−10x+(x+2)∣x∣f{\left(x \right)} = - 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right| 
f = -10*x + (x + 2)*|x|
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−10x+(x+2)∣x∣=0- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12x_{1} = -12
x2=0x_{2} = 0
x3=8x_{3} = 8
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=−12x_{2} = -12
x3=8x_{3} = 8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x|*(x + 2) - 10*x.
2∣0∣−02 \left|{0}\right| - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)sign⁡(x)+∣x∣−10=0\left(x + 2\right) \operatorname{sign}{\left(x \right)} + \left|{x}\right| - 10 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−6x_{1} = -6
x2=4x_{2} = 4
Signos de extremos en los puntos:
(-6, 36)

(4, -16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4x_{1} = 4
Puntos máximos de la función:
x1=−6x_{1} = -6
Decrece en los intervalos
(−∞,−6]∪[4,∞)\left(-\infty, -6\right] \cup \left[4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−6,4]\left[-6, 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x+2)δ(x)+sign⁡(x))=02 \left(\left(x + 2\right) \delta\left(x\right) + \operatorname{sign}{\left(x \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−10x+(x+2)∣x∣)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right|\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−10x+(x+2)∣x∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x|*(x + 2) - 10*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−10x+(x+2)∣x∣x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−10x+(x+2)∣x∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−10x+(x+2)∣x∣=10x+(2−x)∣x∣- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right| = 10 x + \left(2 - x\right) \left|{x}\right|
- No
−10x+(x+2)∣x∣=−10x−(2−x)∣x∣- 10 x + \left(x + 2\right) \left|{x}\right| = - 10 x - \left(2 - x\right) \left|{x}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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