Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (dos x+ tres)/(x^2-2x- quince)
- (2x más 3) dividir por (x al cuadrado menos 2x menos 15)
- (dos x más tres) dividir por (x al cuadrado menos 2x menos quince)
- (2x+3)/(x2-2x-15)
- 2x+3/x2-2x-15
- (2x+3)/(x²-2x-15)
- (2x+3)/(x en el grado 2-2x-15)
- 2x+3/x^2-2x-15
- (2x+3) dividir por (x^2-2x-15)
-
Expresiones semejantes
- (2x+3)/(x^2-2x+15)
- (2x-3)/(x^2-2x-15)
- (2x+3)/(x^2+2x-15)
Gráfico de la función y = (2x+3)/(x^2-2x-15)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x + 3
f(x) = -------------
2
x - 2*x - 15
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}$$
f = (2*x + 3)/(x^2 - 2*x - 15)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{3}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(2 x + 3\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(2 - 2 x\right) \left(2 x + 3\right)}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)^{2}} + \frac{2}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5^-}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 5^+}\left(- \frac{2 \left(4 x + \left(2 x + 3\right) \left(\frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{- x^{2} + 2 x + 15} + 1\right) - 4\right)}{\left(- x^{2} + 2 x + 15\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{117}}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt[3]{507}}{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 3)/(x^2 - 2*x - 15), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 3}{x \left(\left(x^{2} - 2 x\right) - 15\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + 2 x - 15}$$
- No
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = - \frac{3 - 2 x}{x^{2} + 2 x - 15}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = \frac{3 - 2 x}{x^{2} + 2 x - 15}$$
- No
$$\frac{2 x + 3}{\left(x^{2} - 2 x\right) - 15} = - \frac{3 - 2 x}{x^{2} + 2 x - 15}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar