Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{40 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = -2 + \sqrt{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{40 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{40 \left(\frac{6 x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{6 x}{x - 1} + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt{3}, -2 + \sqrt{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[-2 + \sqrt{3}, \infty\right)$$