Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(- \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} - \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4}\right) - \frac{3 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4} + \frac{6 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2} - \frac{6 \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{2 \left(x - 2\right)}{x + 4} - 1\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{x + 4}}}{9 \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0.392304845413264$$
$$x_{2} = -20.3923048454133$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -4$$
$$\lim_{x \to -4^-}\left(\frac{\left(- \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} - \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4}\right) - \frac{3 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4} + \frac{6 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2} - \frac{6 \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{2 \left(x - 2\right)}{x + 4} - 1\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{x + 4}}}{9 \left(x - 2\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(\sqrt[3]{-1} \right)}$$
$$\lim_{x \to -4^+}\left(\frac{\left(- \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left(\frac{2 \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}} - \frac{\left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4}\right) - \frac{3 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x + 4} + \frac{6 \left(\frac{x - 2}{x + 4} - 2\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2} - \frac{6 \left(- \frac{\left(x - 2\right)^{2}}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{2 \left(x - 2\right)}{x + 4} - 1\right) \left|{x - 2}\right|^{\frac{2}{3}}}{x - 2}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{x + 4}}}{9 \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -4$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-20.3923048454133, 0.392304845413264\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -20.3923048454133\right] \cup \left[0.392304845413264, \infty\right)$$