Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-8/x^4
-
y=x²-2x-8
-
-x^4+x^2
-
x*e^(-x^1)
-
Expresiones idénticas
- sinsin(x/ dos)+ uno / dos
- seno de seno de (x dividir por 2) más 1 dividir por 2
- seno de seno de (x dividir por dos) más uno dividir por dos
- sinsinx/2+1/2
- sinsin(x dividir por 2)+1 dividir por 2
-
Expresiones semejantes
- sinsin(x/2)-1/2
Gráfico de la función y = sinsin(x/2)+1/2
Solución
Ha introducido
[src]
/ /x\\ 1
f(x) = sin|sin|-|| + -
\ \2// 2
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}$$
f = sin(sin(x/2)) + 1/2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{6} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{6} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 99.4288257486745$$
$$x_{2} = 74.2960845199561$$
$$x_{3} = -42.8801579840582$$
$$x_{4} = -101.633104081072$$
$$x_{5} = -12571.5516605002$$
$$x_{6} = 86.8624551343153$$
$$x_{7} = 61.729713905597$$
$$x_{8} = -114.199474695431$$
$$x_{9} = 11.4642314481603$$
$$x_{10} = -17.7474167553399$$
$$x_{11} = 95.3499187738927$$
$$x_{12} = -1.10213916619889$$
$$x_{13} = -1031.54452954365$$
$$x_{14} = -80.5792698271357$$
$$x_{15} = 258.712736760562$$
$$x_{16} = 24.0306020625195$$
$$x_{17} = 145.615401231329$$
$$x_{18} = -13.6685097805581$$
$$x_{19} = -55.4465285984174$$
$$x_{20} = 4950.04788289132$$
$$x_{21} = -63.9339922379948$$
$$x_{22} = 32.5180657020968$$
$$x_{23} = -5.18104614098069$$
$$x_{24} = 36.5969726768786$$
$$x_{25} = 49.1633432912378$$
$$x_{26} = 82.7835481595335$$
$$x_{27} = -30.313787369699$$
$$x_{28} = 836.765785021084$$
$$x_{29} = -8185.8883160888$$
$$x_{30} = -76.5003628523539$$
$$x_{31} = 45.084436316456$$
$$x_{32} = 7.38532447337848$$
$$x_{33} = 70.2171775451743$$
$$x_{34} = 19.9516950877377$$
$$x_{35} = -93.1456404414949$$
$$x_{36} = -38.8012510092764$$
$$x_{37} = -51.3676216236356$$
$$x_{38} = 57.6508069308152$$
$$x_{39} = -26.2348803949172$$
$$x_{40} = -68.0128992127766$$
$$x_{41} = -89.0667334667131$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{6} \right)} + 2 \pi$$
$$x_{2} = - 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{\pi}{6} \right)}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 99.4288257486745$$
$$x_{2} = 74.2960845199561$$
$$x_{3} = -42.8801579840582$$
$$x_{4} = -101.633104081072$$
$$x_{5} = -12571.5516605002$$
$$x_{6} = 86.8624551343153$$
$$x_{7} = 61.729713905597$$
$$x_{8} = -114.199474695431$$
$$x_{9} = 11.4642314481603$$
$$x_{10} = -17.7474167553399$$
$$x_{11} = 95.3499187738927$$
$$x_{12} = -1.10213916619889$$
$$x_{13} = -1031.54452954365$$
$$x_{14} = -80.5792698271357$$
$$x_{15} = 258.712736760562$$
$$x_{16} = 24.0306020625195$$
$$x_{17} = 145.615401231329$$
$$x_{18} = -13.6685097805581$$
$$x_{19} = -55.4465285984174$$
$$x_{20} = 4950.04788289132$$
$$x_{21} = -63.9339922379948$$
$$x_{22} = 32.5180657020968$$
$$x_{23} = -5.18104614098069$$
$$x_{24} = 36.5969726768786$$
$$x_{25} = 49.1633432912378$$
$$x_{26} = 82.7835481595335$$
$$x_{27} = -30.313787369699$$
$$x_{28} = 836.765785021084$$
$$x_{29} = -8185.8883160888$$
$$x_{30} = -76.5003628523539$$
$$x_{31} = 45.084436316456$$
$$x_{32} = 7.38532447337848$$
$$x_{33} = 70.2171775451743$$
$$x_{34} = 19.9516950877377$$
$$x_{35} = -93.1456404414949$$
$$x_{36} = -38.8012510092764$$
$$x_{37} = -51.3676216236356$$
$$x_{38} = 57.6508069308152$$
$$x_{39} = -26.2348803949172$$
$$x_{40} = -68.0128992127766$$
$$x_{41} = -89.0667334667131$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi, \pi\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \pi$$
$$x_{2} = \pi$$
Signos de extremos en los puntos:
(-pi, 1/2 - sin(1))
(pi, 1/2 + sin(1))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \pi$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \pi$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \pi, \pi\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \pi\right] \cup \left[\pi, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 62.8318530717959$$
$$x_{2} = -50.2654824574367$$
$$x_{3} = 25.1327412287183$$
$$x_{4} = -6.28318530717959$$
$$x_{5} = -18.8495559215388$$
$$x_{6} = -75.398223686155$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 31.4159265358979$$
$$x_{9} = -722.566310325652$$
$$x_{10} = -69.1150383789755$$
$$x_{11} = 12.5663706143592$$
$$x_{12} = 87.9645943005142$$
$$x_{13} = -37.6991118430775$$
$$x_{14} = -100.530964914873$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -12.5663706143592$$
$$x_{17} = 18.8495559215388$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = 43.9822971502571$$
$$x_{20} = -31.4159265358979$$
$$x_{21} = -81.6814089933346$$
$$x_{22} = 56.5486677646163$$
$$x_{23} = -1899494.88295469$$
$$x_{24} = -56.5486677646163$$
$$x_{25} = 50.2654824574367$$
$$x_{26} = 94.2477796076938$$
$$x_{27} = -62.8318530717959$$
$$x_{28} = 69.1150383789755$$
$$x_{29} = 37.6991118430775$$
$$x_{30} = -87.9645943005142$$
$$x_{31} = -25.1327412287183$$
$$x_{32} = 251.327412287183$$
$$x_{33} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{35} = 100.530964914873$$
$$x_{36} = 75.398223686155$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[94.2477796076938, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -722.566310325652\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} \cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 62.8318530717959$$
$$x_{2} = -50.2654824574367$$
$$x_{3} = 25.1327412287183$$
$$x_{4} = -6.28318530717959$$
$$x_{5} = -18.8495559215388$$
$$x_{6} = -75.398223686155$$
$$x_{7} = -43.9822971502571$$
$$x_{8} = 31.4159265358979$$
$$x_{9} = -722.566310325652$$
$$x_{10} = -69.1150383789755$$
$$x_{11} = 12.5663706143592$$
$$x_{12} = 87.9645943005142$$
$$x_{13} = -37.6991118430775$$
$$x_{14} = -100.530964914873$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -12.5663706143592$$
$$x_{17} = 18.8495559215388$$
$$x_{18} = -94.2477796076938$$
$$x_{19} = 43.9822971502571$$
$$x_{20} = -31.4159265358979$$
$$x_{21} = -81.6814089933346$$
$$x_{22} = 56.5486677646163$$
$$x_{23} = -1899494.88295469$$
$$x_{24} = -56.5486677646163$$
$$x_{25} = 50.2654824574367$$
$$x_{26} = 94.2477796076938$$
$$x_{27} = -62.8318530717959$$
$$x_{28} = 69.1150383789755$$
$$x_{29} = 37.6991118430775$$
$$x_{30} = -87.9645943005142$$
$$x_{31} = -25.1327412287183$$
$$x_{32} = 251.327412287183$$
$$x_{33} = 81.6814089933346$$
$$x_{34} = 6.28318530717959$$
$$x_{35} = 100.530964914873$$
$$x_{36} = 75.398223686155$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[94.2477796076938, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -722.566310325652\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}\right) = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle \frac{1}{2} - \sin{\left(1 \right)}, \frac{1}{2} + \sin{\left(1 \right)}\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sin(sin(x/2)) + 1/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} - \frac{1}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)}$$
- No
$$\sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} + \frac{1}{2} = \sin{\left(\sin{\left(\frac{x}{2} \right)} \right)} - \frac{1}{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar