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x(x+1)^3
Trazado el gráfico de la función/ x(x+1)^3

Gráfico de la función y = x(x+1)^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3
f(x) = x*(x + 1)
f(x)=x(x+1)3f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right)^{3} 
f = x*(x + 1)^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+1)3=0x \left(x + 1\right)^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*(x + 1)^3.
0⋅130 \cdot 1^{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x(x+1)2+(x+1)3=03 x \left(x + 1\right)^{2} + \left(x + 1\right)^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=−14x_{2} = - \frac{1}{4}
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 0)

       -27  
(-1/4, ----)
       256


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−14x_{1} = - \frac{1}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−14,∞)\left[- \frac{1}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−14]\left(-\infty, - \frac{1}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x+1)(2x+1)=06 \left(x + 1\right) \left(2 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=−12x_{2} = - \frac{1}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−1]∪[−12,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−1,−12]\left[-1, - \frac{1}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x + 1\right)^{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x(x+1)3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 1\right)^{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*(x + 1)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+1)3=−∞\lim_{x \to -\infty} \left(x + 1\right)^{3} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x+1)3=∞\lim_{x \to \infty} \left(x + 1\right)^{3} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+1)3=−x(1−x)3x \left(x + 1\right)^{3} = - x \left(1 - x\right)^{3}
- No
x(x+1)3=x(1−x)3x \left(x + 1\right)^{3} = x \left(1 - x\right)^{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x(x+1)^3
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