Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x - 2}{x - 2} - \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 3}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 3 *\-1 + \2 - \/ 3 / + 2*\/ 3 /
(2 - \/ 3, -------------------------------------)
3
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 3 *\-1 + \2 + \/ 3 / - 2*\/ 3 /
(2 + \/ 3, -----------------------------------)
3
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[2 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 2\right]$$