Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+5)^2-9
-
x^(7/2)-3
-
x^3/
-
x^4-3*x^2+4
-
Expresiones idénticas
- -((cuatro (x^ dos + cuatro x+ veinte)^ uno / dos -x^ dos -4x-4)/(dos (x^ dos +4x+ veinte)^ uno / dos))
- menos ((4(x al cuadrado más 4x más 20) en el grado 1 dividir por 2 menos x al cuadrado menos 4x menos 4) dividir por (2(x al cuadrado más 4x más 20) en el grado 1 dividir por 2))
- menos ((cuatro (x en el grado dos más cuatro x más veinte) en el grado uno dividir por dos menos x en el grado dos menos 4x menos 4) dividir por (dos (x en el grado dos más 4x más veinte) en el grado uno dividir por dos))
- -((4(x2+4x+20)1/2-x2-4x-4)/(2(x2+4x+20)1/2))
- -4x2+4x+201/2-x2-4x-4/2x2+4x+201/2
- -((4(x²+4x+20)^1/2-x²-4x-4)/(2(x²+4x+20)^1/2))
- -((4(x en el grado 2+4x+20) en el grado 1/2-x en el grado 2-4x-4)/(2(x en el grado 2+4x+20) en el grado 1/2))
- -4x^2+4x+20^1/2-x^2-4x-4/2x^2+4x+20^1/2
- -((4(x^2+4x+20)^1 dividir por 2-x^2-4x-4) dividir por (2(x^2+4x+20)^1 dividir por 2))
-
Expresiones semejantes
- -((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2+4x-20)^1/2))
- -((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2+4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
- -((4(x^2+4x-20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
- -((4(x^2-4x+20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
- ((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
- -((4(x^2+4x+20)^1/2+x^2-4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
- -((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2-4x+20)^1/2))
- -((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2-4x+4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
Gráfico de la función y = -((4(x^2+4x+20)^1/2-x^2-4x-4)/(2(x^2+4x+20)^1/2))
Solución
Ha introducido
[src]
/ _______________ \
| / 2 2 |
-\4*\/ x + 4*x + 20 - x - 4*x - 4/
f(x) = ---------------------------------------
_______________
/ 2
2*\/ x + 4*x + 20
$$f{\left(x \right)} = - \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}$$
f = -(-4*x - x^2 + 4*sqrt(x^2 + 4*x + 20) - 4)/(2*sqrt(x^2 + 4*x + 20))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} - 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -7.08807859805628$$
$$x_{2} = 3.08807859805628$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2 + 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{5}} - 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -7.08807859805628$$
$$x_{2} = 3.08807859805628$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x - 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right) + 4\right)}{2 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 20\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} \left(2 x - \frac{4 \left(x + 2\right)}{\sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 4 x - 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right) + 4\right)}{2 \left(\left(x^{2} + 4 x\right) + 20\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} \left(2 x - \frac{4 \left(x + 2\right)}{\sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} + 4\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2$$
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -2)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -2$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[-2, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -2\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \left(x + 2\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4 x + 20\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 \left(x + 2\right) \left(x - \frac{2 \left(x + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}} + 2\right)}{x^{2} + 4 x + 20} + \frac{\left(\frac{3 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x - 4 \sqrt{x^{2} + 4 x + 20} + 4\right)}{2 \left(x^{2} + 4 x + 20\right)} + 1 - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}}}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{2} - 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{2} - 2, -2 + 4 \sqrt{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{2} - 2\right] \cup \left[-2 + 4 \sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{2 \left(x + 2\right)^{2}}{\left(x^{2} + 4 x + 20\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{2 \left(x + 2\right) \left(x - \frac{2 \left(x + 2\right)}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}} + 2\right)}{x^{2} + 4 x + 20} + \frac{\left(\frac{3 \left(x + 2\right)^{2}}{x^{2} + 4 x + 20} - 1\right) \left(x^{2} + 4 x - 4 \sqrt{x^{2} + 4 x + 20} + 4\right)}{2 \left(x^{2} + 4 x + 20\right)} + 1 - \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}}}{\sqrt{x^{2} + 4 x + 20}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 + 4 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 4 \sqrt{2} - 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 4 \sqrt{2} - 2, -2 + 4 \sqrt{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 4 \sqrt{2} - 2\right] \cup \left[-2 + 4 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -(4*sqrt(x^2 + 4*x + 20) - x^2 - 4*x - 4)/(2*sqrt(x^2 + 4*x + 20)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4\right) \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4\right) \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4\right) \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}}{x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\left(\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4\right) \frac{1}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}}}{x}\right) = \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = - \frac{- x^{2} + 4 x + 4 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20} - 4}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}}$$
- No
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = \frac{- x^{2} + 4 x + 4 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20} - 4}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = - \frac{- x^{2} + 4 x + 4 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20} - 4}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}}$$
- No
$$- \frac{\left(- 4 x + \left(- x^{2} + 4 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}\right)\right) - 4}{2 \sqrt{\left(x^{2} + 4 x\right) + 20}} = \frac{- x^{2} + 4 x + 4 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20} - 4}{2 \sqrt{x^{2} - 4 x + 20}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar