Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 2cos2x+3sin3x

Gráfico de la función y = 2cos2x+3sin3x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = 2*cos(2*x) + 3*sin(3*x)
f(x)=3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)f{\left(x \right)} = 3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} 
f = 3*sin(3*x) + 2*cos(2*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)=03 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=−39.6128030260435x_{1} = -39.6128030260435
x2=74.1703222155312x_{2} = 74.1703222155312
x3=48.3517912744707x_{3} = 48.3517912744707
x4=66.1900652499754x_{4} = 66.1900652499754
x5=−21.7745290505388x_{5} = -21.7745290505388
x6=−45.8959883332231x_{6} = -45.8959883332231
x7=−61.8645090696466x_{7} = -61.8645090696466
x8=16.9358647385728x_{8} = 16.9358647385728
x9=56.3320482400265x_{9} = 56.3320482400265
x10=−72.0400115079754x_{10} = -72.0400115079754
x11=−88.181213825104x_{11} = -88.181213825104
x12=93.01987813707x_{12} = 93.01987813707
x13=22.2077680997183x_{13} = 22.2077680997183
x14=87.7479747759244x_{14} = 87.7479747759244
x15=−68.1476943768262x_{15} = -68.1476943768262
x16=−96.1614707906598x_{16} = -96.1614707906598
x17=7.25052930932882x_{17} = 7.25052930932882
x18=94.031160083104x_{18} = 94.031160083104
x19=96.4220282591344x_{19} = 96.4220282591344
x20=−41.8080484988165x_{20} = -41.8080484988165
x21=−31.6325460604877x_{21} = -31.6325460604877
x22=39.8733604945181x_{22} = 39.8733604945181
x23=26.1000852308676x_{23} = 26.1000852308676
x24=−11.5990266122099x_{24} = -11.5990266122099
x25=−177.842879783994x_{25} = -177.842879783994
x26=52.4397311088773x_{26} = 52.4397311088773
x27=5.05528383655578x_{27} = 5.05528383655578
x28=−28.0577143577183x_{28} = -28.0577143577183
x29=92.3340884247278x_{29} = 92.3340884247278
x30=−13.794272084983x_{30} = -13.794272084983
x31=70.0823823811247x_{31} = 70.0823823811247
x32=−15.4913437433592x_{32} = -15.4913437433592
x33=−64.0597545424197x_{33} = -64.0597545424197
x34=4.3694941242136x_{34} = 4.3694941242136
x35=−12.782990138949x_{35} = -12.782990138949
x36=−57.7765692352401x_{36} = -57.7765692352401
x37=−79.5071603418941x_{37} = -79.5071603418941
x38=−4.10893665573902x_{38} = -4.10893665573902
x39=60.9181618888299x_{39} = 60.9181618888299
x40=76.3655676883043x_{40} = 76.3655676883043
x41=−81.8980285179244x_{41} = -81.8980285179244
x42=72.473250557155x_{42} = 72.473250557155
x43=−55.5813237624671x_{43} = -55.5813237624671
x44=6.06656578258979x_{44} = 6.06656578258979
x45=15.9245827925388x_{45} = 15.9245827925388
x46=−35.524863191637x_{46} = -35.524863191637
x47=67.8871369083516x_{47} = 67.8871369083516
x48=−32.6438280065217x_{48} = -32.6438280065217
x49=−33.3296177188639x_{49} = -33.3296177188639
x50=83.8556576447752x_{50} = 83.8556576447752
x51=43.7656776256673x_{51} = 43.7656776256673
x52=46.1565458016977x_{52} = 46.1565458016977
x53=23.9048397580945x_{53} = 23.9048397580945
x54=79.7677178103686x_{54} = 79.7677178103686
x55=−17.8822119193895x_{55} = -17.8822119193895
x56=80.4535075227108x_{56} = 80.4535075227108
x57=−71.0287295619414x_{57} = -71.0287295619414
x58=90.1388429519548x_{58} = 90.1388429519548
x59=−20.0774573921626x_{59} = -20.0774573921626
x60=−0.216619524589792x_{60} = -0.216619524589792
x61=19.816899923688x_{61} = 19.816899923688
x62=8.45743395862015x_{62} = 8.45743395862015
x63=30.1880250652741x_{63} = 30.1880250652741
x64=100.314345390284x_{64} = 100.314345390284
x65=28.4909534068979x_{65} = 28.4909534068979
x66=59.9068799427959x_{66} = 59.9068799427959
x67=−99.5636209127241x_{67} = -99.5636209127241
x68=63.7991970739451x_{68} = 63.7991970739451
x69=−51.4933839280605x_{69} = -51.4933839280605
x70=−65.7568262007959x_{70} = -65.7568262007959
x71=−8.19687649014558x_{71} = -8.19687649014558
x72=−24.1653972265691x_{72} = -24.1653972265691
x73=−92.0735309562532x_{73} = -92.0735309562532
x74=−59.4736408936163x_{74} = -59.4736408936163
x75=32.3832705380472x_{75} = 32.3832705380472
x76=−85.7903456490736x_{76} = -85.7903456490736
x77=61.6039516011721x_{77} = 61.6039516011721
x78=−89.8782854834802x_{78} = -89.8782854834802
x79=−20.7632471045047x_{79} = -20.7632471045047
x80=50.0488629328469x_{80} = 50.0488629328469
x81=−76.6261251567788x_{81} = -76.6261251567788
x82=124.435804672968x_{82} = 124.435804672968
x83=−48.0912338059961x_{83} = -48.0912338059961
x84=42.0686059672911x_{84} = 42.0686059672911
x85=−75.6148432107448x_{85} = -75.6148432107448
x86=2.17424865144056x_{86} = 2.17424865144056
x87=−44.1989166748469x_{87} = -44.1989166748469
x88=−37.9157313676673x_{88} = -37.9157313676673
x89=86.0509031175482x_{89} = 86.0509031175482
x90=−83.5951001763006x_{90} = -83.5951001763006
x91=12.3497510897694x_{91} = 12.3497510897694
x92=−1.91369118296599x_{92} = -1.91369118296599
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*cos(2*x) + 3*sin(3*x).
3sin⁡(0⋅3)+2cos⁡(0⋅2)3 \sin{\left(0 \cdot 3 \right)} + 2 \cos{\left(0 \cdot 2 \right)}
Resultado:
f(0)=2f{\left(0 \right)} = 2
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4sin⁡(2x)+9cos⁡(3x)=0- 4 \sin{\left(2 x \right)} + 9 \cos{\left(3 x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}
x3=i(log⁡(18)−log⁡(−485+235−2i+85i))x_{3} = i \left(\log{\left(18 \right)} - \log{\left(- \sqrt{4 \sqrt{85} + 235} - 2 i + \sqrt{85} i \right)}\right)
x4=−ilog⁡(−235−48518−i(2+85)18)x_{4} = - i \log{\left(- \frac{\sqrt{235 - 4 \sqrt{85}}}{18} - \frac{i \left(2 + \sqrt{85}\right)}{18} \right)}
x5=−ilog⁡(235−48518−i(2+85)18)x_{5} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{235 - 4 \sqrt{85}}}{18} - \frac{i \left(2 + \sqrt{85}\right)}{18} \right)}
x6=−ilog⁡(485+23518−i(2−85)18)x_{6} = - i \log{\left(\frac{\sqrt{4 \sqrt{85} + 235}}{18} - \frac{i \left(2 - \sqrt{85}\right)}{18} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi     
(----, 1)
  2      

 pi     
(--, -5)
 2      

   /     /     ________________                 \          \       /    /     /     ________________                 \          \\        /    /     /     ________________                 \          \\ 
   |     |    /           ____              ____|          |       |    |     |    /           ____              ____|          ||        |    |     |    /           ____              ____|          || 
(I*\- log\- \/  235 + 4*\/ 85   - 2*I + I*\/ 85 / + log(18)/, 2*cos\2*I*\- log\- \/  235 + 4*\/ 85   - 2*I + I*\/ 85 / + log(18)// + 3*sin\3*I*\- log\- \/  235 + 4*\/ 85   - 2*I + I*\/ 85 / + log(18)//)

       /     ________________                 \         /       /     ________________                 \\        /       /     ________________                 \\ 
       |    /           ____      /      ____\|         |       |    /           ____      /      ____\||        |       |    /           ____      /      ____\|| 
       |  \/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /|         |       |  \/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /||        |       |  \/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /|| 
(-I*log|- ------------------- - --------------|, - 3*sin|3*I*log|- ------------------- - --------------|| + 2*cos|2*I*log|- ------------------- - --------------||)
       \           18                 18      /         \       \           18                 18      //        \       \           18                 18      // 

       /   ________________                 \         /       /   ________________                 \\        /       /   ________________                 \\ 
       |  /           ____      /      ____\|         |       |  /           ____      /      ____\||        |       |  /           ____      /      ____\|| 
       |\/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /|         |       |\/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /||        |       |\/  235 - 4*\/ 85     I*\2 + \/ 85 /|| 
(-I*log|------------------- - --------------|, - 3*sin|3*I*log|------------------- - --------------|| + 2*cos|2*I*log|------------------- - --------------||)
       \         18                 18      /         \       \         18                 18      //        \       \         18                 18      // 

       /   ________________                 \         /       /   ________________                 \\        /       /   ________________                 \\ 
       |  /           ____      /      ____\|         |       |  /           ____      /      ____\||        |       |  /           ____      /      ____\|| 
       |\/  235 + 4*\/ 85     I*\2 - \/ 85 /|         |       |\/  235 + 4*\/ 85     I*\2 - \/ 85 /||        |       |\/  235 + 4*\/ 85     I*\2 - \/ 85 /|| 
(-I*log|------------------- - --------------|, - 3*sin|3*I*log|------------------- - --------------|| + 2*cos|2*I*log|------------------- - --------------||)
       \         18                 18      /         \       \         18                 18      //        \       \         18                 18      //


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=−π+atan⁡(−−85−2235−485)x_{2} = - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{- \sqrt{85} - 2}{\sqrt{235 - 4 \sqrt{85}}} \right)}
x3=−atan⁡(−−85−2235−485)x_{3} = - \operatorname{atan}{\left(- \frac{- \sqrt{85} - 2}{\sqrt{235 - 4 \sqrt{85}}} \right)}
Puntos máximos de la función:
x3=−π2x_{3} = - \frac{\pi}{2}
x3=π−atan⁡(−2+85485+235)x_{3} = \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{-2 + \sqrt{85}}{\sqrt{4 \sqrt{85} + 235}} \right)}
x3=atan⁡(−2+85485+235)x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{-2 + \sqrt{85}}{\sqrt{4 \sqrt{85} + 235}} \right)}
Decrece en los intervalos
[π2,∞)\left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π+atan⁡(−−85−2235−485)]\left(-\infty, - \pi + \operatorname{atan}{\left(- \frac{- \sqrt{85} - 2}{\sqrt{235 - 4 \sqrt{85}}} \right)}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(27sin⁡(3x)+8cos⁡(2x))=0- (27 \sin{\left(3 x \right)} + 8 \cos{\left(2 x \right)}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to -\infty}\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
lim⁡x→∞(3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x))=⟨−5,5⟩\lim_{x \to \infty}\left(3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle -5, 5\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−5,5⟩y = \left\langle -5, 5\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*cos(2*x) + 3*sin(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)=−3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = - 3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
3sin⁡(3x)+2cos⁡(2x)=3sin⁡(3x)−2cos⁡(2x)3 \sin{\left(3 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)} = 3 \sin{\left(3 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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