Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (|x+1|/x+1)-(2/x)

Gráfico de la función y = (|x+1|/x+1)-(2/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x + 1|       2
f(x) = ------- + 1 - -
          x          x
f(x)=(1+∣x+1∣x)−2xf{\left(x \right)} = \left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} 
f = 1 + |x + 1|/x - 2/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(1+∣x+1∣x)−2x=0\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.5x_{1} = 0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 1|/x + 1 - 2/x.
−20+(∣1∣0+1)- \frac{2}{0} + \left(\frac{\left|{1}\right|}{0} + 1\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
sign⁡(x+1)x−∣x+1∣x2+2x2=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(δ(x+1)−sign⁡(x+1)x+∣x+1∣x2−2x2)x=0\frac{2 \left(\delta\left(x + 1\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((1+∣x+1∣x)−2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞((1+∣x+1∣x)−2x)=2\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}\right) = 2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=2y = 2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 1|/x + 1 - 2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((1+∣x+1∣x)−2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((1+∣x+1∣x)−2xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(1+∣x+1∣x)−2x=1−∣x−1∣x+2x\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = 1 - \frac{\left|{x - 1}\right|}{x} + \frac{2}{x}
- No
(1+∣x+1∣x)−2x=−1+∣x−1∣x−2x\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = -1 + \frac{\left|{x - 1}\right|}{x} - \frac{2}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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