Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (|x+1|/x+1)-(2/x)

Gráfico de la función y = (|x+1|/x+1)-(2/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       |x + 1|       2
f(x) = ------- + 1 - -
          x          x
$$f{\left(x \right)} = \left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}$$ 
f = 1 + |x + 1|/x - 2/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 1|/x + 1 - 2/x.
$$- \frac{2}{0} + \left(\frac{\left|{1}\right|}{0} + 1\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x} - \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\delta\left(x + 1\right) - \frac{\operatorname{sign}{\left(x + 1 \right)}}{x} + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 1|/x + 1 - 2/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = 1 - \frac{\left|{x - 1}\right|}{x} + \frac{2}{x}$$
- No
$$\left(1 + \frac{\left|{x + 1}\right|}{x}\right) - \frac{2}{x} = -1 + \frac{\left|{x - 1}\right|}{x} - \frac{2}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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