Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
-
Expresiones idénticas
- cuatro -4cos(2x)
- 4 menos 4 coseno de (2x)
- cuatro menos 4 coseno de (2x)
- 4-4cos2x
-
Expresiones semejantes
- 4+4cos(2x)
Gráfico de la función y = 4-4cos(2x)
Solución
Ha introducido
[src]
f(x) = 4 - 4*cos(2*x)
$$f{\left(x \right)} = 4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}$$
f = 4 - 4*cos(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 47.123889589354$$
$$x_{2} = -31.4159267051849$$
$$x_{3} = -47.123890151099$$
$$x_{4} = 50.2654824463473$$
$$x_{5} = -65.9734457650176$$
$$x_{6} = 94.2477796093525$$
$$x_{7} = -69.1150386253436$$
$$x_{8} = -34.5575189426108$$
$$x_{9} = 59.6902605976901$$
$$x_{10} = -106.814150357553$$
$$x_{11} = -47.1238900492539$$
$$x_{12} = 43.982297169427$$
$$x_{13} = 97.3893725148693$$
$$x_{14} = 91.1061867314459$$
$$x_{15} = -28.2743337166085$$
$$x_{16} = -97.3893724403711$$
$$x_{17} = -6371388.6625218$$
$$x_{18} = 87.9645943357576$$
$$x_{19} = -62.8318528379059$$
$$x_{20} = 56.5486676091327$$
$$x_{21} = 47.123890018392$$
$$x_{22} = 40.8407042560881$$
$$x_{23} = 18.8495556796107$$
$$x_{24} = -40.8407042660168$$
$$x_{25} = 65.9734457528975$$
$$x_{26} = -100.530964672522$$
$$x_{27} = -78.5398160958028$$
$$x_{28} = -84.82300141007$$
$$x_{29} = 34.5575190304759$$
$$x_{30} = 81.6814091761104$$
$$x_{31} = 6.28318528425126$$
$$x_{32} = 3.14159244884412$$
$$x_{33} = 12.5663704518704$$
$$x_{34} = -50.2654822953391$$
$$x_{35} = -37.6991118771514$$
$$x_{36} = 25.1327414478072$$
$$x_{37} = 100.530964766599$$
$$x_{38} = -91.106187201329$$
$$x_{39} = 9.42477821024198$$
$$x_{40} = -6.28318513794069$$
$$x_{41} = -91.1061872003049$$
$$x_{42} = 37.6991120192083$$
$$x_{43} = -53.4070752836338$$
$$x_{44} = -25.132741473063$$
$$x_{45} = 53.4070753627408$$
$$x_{46} = -12.5663703661411$$
$$x_{47} = -56.5486675191652$$
$$x_{48} = -1734.15914475848$$
$$x_{49} = -34.5575189701076$$
$$x_{50} = -72.2566308741333$$
$$x_{51} = 62.8318528326557$$
$$x_{52} = -87.9645943587732$$
$$x_{53} = -75.3982238620294$$
$$x_{54} = 25.1327410188866$$
$$x_{55} = 0$$
$$x_{56} = 69.1150381602162$$
$$x_{57} = -15.7079632965264$$
$$x_{58} = -21.9911485864515$$
$$x_{59} = 91.1061871583643$$
$$x_{60} = 75.3982239388525$$
$$x_{61} = -31.4159267959754$$
$$x_{62} = -81.6814090380061$$
$$x_{63} = 15.7079634406648$$
$$x_{64} = -9.42477812668337$$
$$x_{65} = 3.14159287686128$$
$$x_{66} = 84.8230014093114$$
$$x_{67} = -59.6902604576401$$
$$x_{68} = -3.14159289677385$$
$$x_{69} = 69.1150385885879$$
$$x_{70} = -40.8407046898283$$
$$x_{71} = -94.2477794529919$$
$$x_{72} = 21.9911485851964$$
$$x_{73} = -18.8495561207399$$
$$x_{74} = -62.8318532583801$$
$$x_{75} = 31.4159267865366$$
$$x_{76} = -69.1150386737158$$
$$x_{77} = -84.8230018263493$$
$$x_{78} = -18.8495556944209$$
$$x_{79} = 78.5398161878405$$
$$x_{80} = 72.256631027719$$
$$x_{81} = 28.2743338652012$$
$$x_{82} = -43.9822971745789$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \pi$$
Solución numérica
$$x_{1} = 47.123889589354$$
$$x_{2} = -31.4159267051849$$
$$x_{3} = -47.123890151099$$
$$x_{4} = 50.2654824463473$$
$$x_{5} = -65.9734457650176$$
$$x_{6} = 94.2477796093525$$
$$x_{7} = -69.1150386253436$$
$$x_{8} = -34.5575189426108$$
$$x_{9} = 59.6902605976901$$
$$x_{10} = -106.814150357553$$
$$x_{11} = -47.1238900492539$$
$$x_{12} = 43.982297169427$$
$$x_{13} = 97.3893725148693$$
$$x_{14} = 91.1061867314459$$
$$x_{15} = -28.2743337166085$$
$$x_{16} = -97.3893724403711$$
$$x_{17} = -6371388.6625218$$
$$x_{18} = 87.9645943357576$$
$$x_{19} = -62.8318528379059$$
$$x_{20} = 56.5486676091327$$
$$x_{21} = 47.123890018392$$
$$x_{22} = 40.8407042560881$$
$$x_{23} = 18.8495556796107$$
$$x_{24} = -40.8407042660168$$
$$x_{25} = 65.9734457528975$$
$$x_{26} = -100.530964672522$$
$$x_{27} = -78.5398160958028$$
$$x_{28} = -84.82300141007$$
$$x_{29} = 34.5575190304759$$
$$x_{30} = 81.6814091761104$$
$$x_{31} = 6.28318528425126$$
$$x_{32} = 3.14159244884412$$
$$x_{33} = 12.5663704518704$$
$$x_{34} = -50.2654822953391$$
$$x_{35} = -37.6991118771514$$
$$x_{36} = 25.1327414478072$$
$$x_{37} = 100.530964766599$$
$$x_{38} = -91.106187201329$$
$$x_{39} = 9.42477821024198$$
$$x_{40} = -6.28318513794069$$
$$x_{41} = -91.1061872003049$$
$$x_{42} = 37.6991120192083$$
$$x_{43} = -53.4070752836338$$
$$x_{44} = -25.132741473063$$
$$x_{45} = 53.4070753627408$$
$$x_{46} = -12.5663703661411$$
$$x_{47} = -56.5486675191652$$
$$x_{48} = -1734.15914475848$$
$$x_{49} = -34.5575189701076$$
$$x_{50} = -72.2566308741333$$
$$x_{51} = 62.8318528326557$$
$$x_{52} = -87.9645943587732$$
$$x_{53} = -75.3982238620294$$
$$x_{54} = 25.1327410188866$$
$$x_{55} = 0$$
$$x_{56} = 69.1150381602162$$
$$x_{57} = -15.7079632965264$$
$$x_{58} = -21.9911485864515$$
$$x_{59} = 91.1061871583643$$
$$x_{60} = 75.3982239388525$$
$$x_{61} = -31.4159267959754$$
$$x_{62} = -81.6814090380061$$
$$x_{63} = 15.7079634406648$$
$$x_{64} = -9.42477812668337$$
$$x_{65} = 3.14159287686128$$
$$x_{66} = 84.8230014093114$$
$$x_{67} = -59.6902604576401$$
$$x_{68} = -3.14159289677385$$
$$x_{69} = 69.1150385885879$$
$$x_{70} = -40.8407046898283$$
$$x_{71} = -94.2477794529919$$
$$x_{72} = 21.9911485851964$$
$$x_{73} = -18.8495561207399$$
$$x_{74} = -62.8318532583801$$
$$x_{75} = 31.4159267865366$$
$$x_{76} = -69.1150386737158$$
$$x_{77} = -84.8230018263493$$
$$x_{78} = -18.8495556944209$$
$$x_{79} = 78.5398161878405$$
$$x_{80} = 72.256631027719$$
$$x_{81} = 28.2743338652012$$
$$x_{82} = -43.9822971745789$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$8 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$8 \sin{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
pi (--, 8) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$16 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$16 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 8\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4 - 4*cos(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 4 \cos{\left(2 x \right)} - 4$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 4 - 4 \cos{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$4 - 4 \cos{\left(2 x \right)} = 4 \cos{\left(2 x \right)} - 4$$
- No
es decir, función
es
par