Sr Examen

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x^3lnx
Trazado el gráfico de la función/ x^3lnx

Gráfico de la función y = x^3lnx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       
f(x) = x *log(x)
f(x)=x3log⁡(x)f{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(x \right)} 
f = x^3*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3log⁡(x)=0x^{3} \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*log(x).
03log⁡(0)0^{3} \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2log⁡(x)+x2=03 x^{2} \log{\left(x \right)} + x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−13x_{1} = e^{- \frac{1}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
          -1  
  -1/3  -e    
(e   , -----)
          3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−13x_{1} = e^{- \frac{1}{3}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−13,∞)\left[e^{- \frac{1}{3}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−13]\left(-\infty, e^{- \frac{1}{3}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(6log⁡(x)+5)=0x \left(6 \log{\left(x \right)} + 5\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−56x_{1} = e^{- \frac{5}{6}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[e−56,∞)\left[e^{- \frac{5}{6}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,e−56]\left(-\infty, e^{- \frac{5}{6}}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3log⁡(x))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \log{\left(x \right)}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3log⁡(x)=−x3log⁡(−x)x^{3} \log{\left(x \right)} = - x^{3} \log{\left(- x \right)}
- No
x3log⁡(x)=x3log⁡(−x)x^{3} \log{\left(x \right)} = x^{3} \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3lnx
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